Expresse a integral como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde é o sólido limitado pelas superfícies: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente reescrever a integral tripla como uma integral iterada de seis jeitos diferentes. Aqui, é o sólido limitado pelas superfícies , e . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente sobre como definir limites de integração em integrais triplas. Vamos precisar entender bem os limites para , e com base nas superfícies que definem o sólido .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fronteiras do sólido . Temos:
  1. – que é o plano xy.
  2. – um plano inclinado onde depende de .
  3. – uma parábola aberta para baixo no plano xy.
Vamos descobrir os limites para , e com base nessas equações.

Passo 3

Vamos começar determinando os limites de . A equação pode ser rearranjada para . Isso indica que varia de acordo com . Além disso, varia de até . Portanto, para cada , precisamos encontrar o intervalo de e, dentro disso, o intervalo de .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites para . A equação implica que , já que deve ser maior ou igual a zero (porque e não pode ser negativa neste contexto). Assim, varia de a .

Passo 5

Com os limites de definidos de a , e para cada , varia de a . Dentro desse intervalo de , varia de até . Agora, vamos montar as integrais iteradas para cada ordem possível de integração.

Passo 6

Vamos considerar as seis ordens possíveis para integrar: , , , , e . Para cada ordem, ajustamos os limites de integração de acordo.

Resposta

As seis integrais iteradas são:

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