Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superfícies:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente reescrever a integral tripla
como uma integral iterada de seis jeitos diferentes. Aqui,
é o sólido limitado pelas superfícies
,
e
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente sobre como definir limites de integração em integrais triplas. Vamos precisar entender bem os limites para
,
e
com base nas superfícies que definem o sólido
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fronteiras do sólido
. Temos:
-
– que é o plano xy. -
– um plano inclinado onde depende de . -
– uma parábola aberta para baixo no plano xy.
Vamos descobrir os limites para
,
e
com base nessas equações.
Passo 3
Vamos começar determinando os limites de
. A equação
pode ser rearranjada para
. Isso indica que
varia de acordo com
. Além disso,
varia de
até
. Portanto, para cada
, precisamos encontrar o intervalo de
e, dentro disso, o intervalo de
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites para
. A equação
implica que
, já que
deve ser maior ou igual a zero (porque
e
não pode ser negativa neste contexto). Assim,
varia de
a
.
Passo 5
Com os limites de
definidos de
a
, e para cada
,
varia de
a
. Dentro desse intervalo de
,
varia de
até
. Agora, vamos montar as integrais iteradas para cada ordem possível de integração.
Passo 6
Vamos considerar as seis ordens possíveis para integrar:
,
,
,
,
e
. Para cada ordem, ajustamos os limites de integração de acordo.
Resposta
As seis integrais iteradas são: