Existe um polinômio
de coeficientes reais tal que
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se existe um polinômio
com coeficientes reais tal que, para todo
, a relação
seja verdadeira. Isso envolve conhecimentos de funções polinomiais e trigonometria.
Passo 2
Vamos pensar em um polinômio
qualquer de coeficientes reais. Um polinômio pode ser escrito da forma:
onde
são números reais.
Passo 3
A relação que queremos satisfazer é
. Vamos substituir
por
no polinômio:
Isso precisa ser válido para todo
.
Passo 4
Vamos testar valores específicos de
para ver se conseguimos encontrar contradições. Primeiro, escolha
:
Substituindo na equação:
Passo 5
Agora, vamos escolher
:
Substituindo na equação:
Passo 6
Aqui percebemos um problema: do Passo 4, temos que
, e do Passo 5,
. Isso é uma contradição, pois
não é igual a
.
Resposta
Não existe um polinômio
de coeficientes reais tal que
para todo
.