Existe um polinômio p de coeficientes reais tal que p(sen x) = cos x ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se existe um polinômio com coeficientes reais tal que, para todo , a relação seja verdadeira. Isso envolve conhecimentos de funções polinomiais e trigonometria.

Passo 2

Vamos pensar em um polinômio qualquer de coeficientes reais. Um polinômio pode ser escrito da forma:
onde são números reais.

Passo 3

A relação que queremos satisfazer é . Vamos substituir por no polinômio:
Isso precisa ser válido para todo .

Passo 4

Vamos testar valores específicos de para ver se conseguimos encontrar contradições. Primeiro, escolha :
Substituindo na equação:

Passo 5

Agora, vamos escolher :
Substituindo na equação:

Passo 6

Aqui percebemos um problema: do Passo 4, temos que , e do Passo 5, . Isso é uma contradição, pois não é igual a .

Resposta

Não existe um polinômio de coeficientes reais tal que para todo .

Exercícios relacionados