Seja um polinômio de grau tal que para todo . Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um polinômio de grau que satisfaz para todo número inteiro de 0 até . A gente precisa descobrir o valor de .
Matéria envolvida: Polinômios e interpolação.
O que vamos precisar: Vamos utilizar o conceito de polinômios interpoladores e algumas propriedades dos polinômios para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma nova função que relaciona o polinômio com os valores que ele assume nos pontos dados. Seja:
Explicação: Multiplicamos por e subtraímos para criar uma nova função . A ideia é simplificar as condições que temos para .

Passo 3

Vamos analisar os valores de nos pontos conhecidos. Para cada de 0 até :
Explicação: Substituímos pela expressão dada e simplificamos, mostrando que para .

Passo 4

Notamos que é um polinômio de grau (já que é de grau e multiplicamos por ). Além disso, ele tem raízes distintas em . Portanto, podemos escrever:
Explicação: Como tem raízes, ele pode ser expresso como uma constante multiplicada pelos fatores correspondentes a cada raiz.

Passo 5

Precisamos encontrar o valor da constante . Para isso, vamos avaliar em um ponto conveniente, por exemplo, :
Por outro lado, substituindo na expressão de :
Como são fatores negativos, o sinal será , e o valor absoluto será . Portanto:

Passo 6

Agora que temos , podemos escrever completamente:
Lembre-se que , então:

Passo 7

Queremos encontrar . Vamos substituir na equação acima:
Simplificando o termo da direita:
Então:

Resposta

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Existe um polinômio de coeficientes reais tal que ? Justifique sua resposta.
Prove que o número é irracional.
Generalize a fórmula de multisecção do seguinte modo: dados , primo ímpar e inteiro, se é uma raíz p-ésima da unidade, então
onde denota o coeficiente de em .