Seja
um polinômio de grau
tal que
para todo
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um polinômio
de grau
que satisfaz
para todo número inteiro
de 0 até
. A gente precisa descobrir o valor de
.
Matéria envolvida: Polinômios e interpolação.
O que vamos precisar: Vamos utilizar o conceito de polinômios interpoladores e algumas propriedades dos polinômios para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma nova função que relaciona o polinômio
com os valores que ele assume nos pontos dados. Seja:
Explicação: Multiplicamos
por
e subtraímos
para criar uma nova função
. A ideia é simplificar as condições que temos para
.
Passo 3
Vamos analisar os valores de
nos pontos conhecidos. Para cada
de 0 até
:
Explicação: Substituímos
pela expressão dada e simplificamos, mostrando que
para
.
Passo 4
Notamos que
é um polinômio de grau
(já que
é de grau
e multiplicamos por
). Além disso, ele tem
raízes distintas em
. Portanto, podemos escrever:
Explicação: Como
tem
raízes, ele pode ser expresso como uma constante
multiplicada pelos fatores correspondentes a cada raiz.
Passo 5
Precisamos encontrar o valor da constante
. Para isso, vamos avaliar
em um ponto conveniente, por exemplo,
:
Por outro lado, substituindo
na expressão de
:
Como são
fatores negativos, o sinal será
, e o valor absoluto será
. Portanto:
Passo 6
Agora que temos
, podemos escrever
completamente:
Lembre-se que
, então:
Passo 7
Queremos encontrar
. Vamos substituir
na equação acima:
Simplificando o termo da direita:
Então:
Resposta
Exercícios relacionados
Existe um polinômio
de coeficientes reais tal que
? Justifique sua resposta.
Prove que o número
é irracional.
Generalize a fórmula de multisecção do seguinte modo: dados
,
primo ímpar e
inteiro, se
é uma raíz p-ésima da unidade, então
onde
denota o coeficiente de
em
.