Prove que o número
é irracional.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos o número
e precisamos provar que ele é irracional. Isso envolve conceitos de números racionais e irracionais da matemática, onde um número irracional não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros. Para resolver essa prova, vamos usar o método de contradição, que consiste em assumir que o número é racional e mostrar que isso leva a uma contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos supor, para fins de contradição, que o número
seja racional. Ou seja, existe uma fração
, onde
e
são inteiros sem fatores comuns, tal que:
Passo 3
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz quadrada externa, temos:
Isso implica que:
Passo 4
Agora, observamos que
também está envolvido. Vamos denotar essa expressão como
:
Seguindo a mesma lógica, se
for racional, podemos expressá-lo como uma fração
, onde
e
são inteiros sem fatores comuns. Elevando ambos os lados ao quadrado:
E isolando a raiz quadrada:
Passo 5
Sabemos que
é um número irracional, o que significa que não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros. No entanto, na nossa suposição, chegamos a uma expressão que sugere que
é igual a uma diferença de dois números racionais (já que
é racional por hipótese), o que é uma contradição, pois números racionais fecham-se sob adição e subtração, mas
não é racional.
Passo 6
Devido a essa contradição, nossa suposição inicial de que
é racional está errada. Portanto, o número
deve ser irracional.
Resposta
Concluímos que o número
é irracional.
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Mostre que, para quaisquer
com
e
,
Seja
um polinômio não nulo e de coeficientes complexos e
um complexo dado. Mostre que
é uma raíz de multiplicidade
de
se, e somente se,
é uma raiz de multiplicidade
de
.
Existe um polinômio
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? Justifique sua resposta.
Seja
um polinômio de grau
tal que
para todo
. Calcule
.