Prove que o número raiz(2 + raiz(2 + raiz(2))) é irracional.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos o número raiz(2 + raiz(2 + raiz(2))) e precisamos provar que ele é irracional. Isso envolve conceitos de números racionais e irracionais da matemática, onde um número irracional não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros. Para resolver essa prova, vamos usar o método de contradição, que consiste em assumir que o número é racional e mostrar que isso leva a uma contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos supor, para fins de contradição, que o número raiz(2 + raiz(2 + raiz(2))) seja racional. Ou seja, existe uma fração a/b, onde a e b são inteiros sem fatores comuns, tal que:

Passo 3

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz quadrada externa, temos:
Isso implica que:

Passo 4

Agora, observamos que também está envolvido. Vamos denotar essa expressão como x:
Seguindo a mesma lógica, se x for racional, podemos expressá-lo como uma fração , onde c e d são inteiros sem fatores comuns. Elevando ambos os lados ao quadrado:
E isolando a raiz quadrada:

Passo 5

Sabemos que raiz(2) é um número irracional, o que significa que não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros. No entanto, na nossa suposição, chegamos a uma expressão que sugere que raiz(2) é igual a uma diferença de dois números racionais (já que é racional por hipótese), o que é uma contradição, pois números racionais fecham-se sob adição e subtração, mas raiz(2) não é racional.

Passo 6

Devido a essa contradição, nossa suposição inicial de que raiz(2 + raiz(2 + raiz(2))) é racional está errada. Portanto, o número raiz(2 + raiz(2 + raiz(2))) deve ser irracional.

Resposta

Concluímos que o número raiz(2 + raiz(2 + raiz(2))) é irracional.

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