Existem valores de e com os quais o posto de é um ou dois?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma matriz que depende de dois valores, e . O objetivo é descobrir se existem valores para e que fazem com que o posto (ou seja, o número de linhas independentes) da matriz seja 1 ou 2. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o conceito de posto de uma matriz e como determiná-lo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a matriz A = 1 & 0 & 0 0 & r-2 & 2 0 & 5-1 & r+2 0 & 0 & 3 que foi dada:
A = 1 & 0 & 0 0 & r-2 & 2 0 & 4 & r+2 0 & 0 & 3
Perceba que há um pequeno erro na matriz: na terceira linha, na segunda coluna, está escrito . Vamos simplificar isso:
Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem com que o posto de seja 1 ou 2.
Passo 3
Para determinar o posto da matriz, vamos transformar em uma forma mais simples, usando operações de linha que não mudam o posto. Vamos tentar deixar a matriz em forma escalonada.
A matriz já está quase na forma escalonada, mas vamos ajustar a terceira linha. Note que na terceira linha, a segunda posição é 4 e o terceiro elemento é . Vamos tentar zerar essa posição usando a segunda linha.
Primeiro, observamos que a segunda linha é . Vamos multiplica-la por e subtrair da terceira linha para eliminar o 4. Mas antes de fazer isso, precisamos considerar se é diferente de zero, porque não podemos dividir por zero.
O terceiro elemento após a eliminação é r = -2 pm raiz4 + 482 = -2 pm raiz522 = -2 pm 2raiz132 = -1 pm raiz13 .
Queremos que o posto seja 1 ou 2:
Posto 1: Todas as linhas além da primeira devem ser múltiplos uma da outra, ou seja, o terceiro elemento deve ser zero:Resolvendo a equação quadrática:
Posto 2: O terceiro elemento não é zero, então temos duas linhas independentes além da primeira.
Para :
A segunda linha é e a terceira linha é .
Podemos ver que a terceira linha não é múltiplo da segunda, então temos duas linhas independentes além da primeira.
Passo 6
Agora, resumindo:
Posto 1: Quando ou .
Posto 2: Para todos os outros valores de .
Como o exercício inicial mencionou , mas não há na matriz, assumimos que não afeta o posto. Portanto, os valores de podem ser quaisquer números reais.
Resposta
Existem valores de (especificamente e ) para os quais o posto da matriz é 1. Para todos os demais valores de , o posto de é 2. O valor de não afeta o posto da matriz.