Existem valores de r e s com os quais o posto de A é um ou dois?
A=[ccc 1 & 0 & 0 0 & r-2 & 2 0 & 5-1 & r+2 0 & 0 & 3 ]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma matriz que depende de dois valores, e . O objetivo é descobrir se existem valores para e que fazem com que o posto (ou seja, o número de linhas independentes) da matriz seja 1 ou 2. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o conceito de posto de uma matriz e como determiná-lo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a matriz A = 1 & 0 & 0 0 & r-2 & 2 0 & 5-1 & r+2 0 & 0 & 3 que foi dada:
A = 1 & 0 & 0 0 & r-2 & 2 0 & 4 & r+2 0 & 0 & 3
Perceba que há um pequeno erro na matriz: na terceira linha, na segunda coluna, está escrito . Vamos simplificar isso:
Agora, nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem com que o posto de seja 1 ou 2.

Passo 3

Para determinar o posto da matriz, vamos transformar em uma forma mais simples, usando operações de linha que não mudam o posto. Vamos tentar deixar a matriz em forma escalonada.
A matriz já está quase na forma escalonada, mas vamos ajustar a terceira linha. Note que na terceira linha, a segunda posição é 4 e o terceiro elemento é . Vamos tentar zerar essa posição usando a segunda linha.
Primeiro, observamos que a segunda linha é . Vamos multiplica-la por e subtrair da terceira linha para eliminar o 4. Mas antes de fazer isso, precisamos considerar se é diferente de zero, porque não podemos dividir por zero.

Passo 4

Vamos analisar duas situações:
  1. Quando r + 2 - 8r-2 = (r + 2)(r - 2) - 8r - 2 = r^2 - 4 + 2r - 8r - 2 = r^2 + 2r - 12r - 2 :
    • Multiplicamos a segunda linha por , o que nos dá .
    • Subtraímos isso da terceira linha: .
    • Simplificando o terceiro elemento:
    • O posto da matriz dependerá se esse valor é zero ou não.
  2. Quando , ou seja, :
    • A segunda linha se torna .
    • A terceira linha permanece .

Passo 5

Vamos continuar analisando cada caso:
  1. Para r^2 + 2r - 12r - 2 = 0 implies r^2 + 2r - 12 = 0 :
    • O terceiro elemento após a eliminação é r = -2 pm raiz4 + 482 = -2 pm raiz522 = -2 pm 2raiz132 = -1 pm raiz13 .
    • Queremos que o posto seja 1 ou 2:
      • Posto 1: Todas as linhas além da primeira devem ser múltiplos uma da outra, ou seja, o terceiro elemento deve ser zero: Resolvendo a equação quadrática:
      • Posto 2: O terceiro elemento não é zero, então temos duas linhas independentes além da primeira.
  2. Para :
    • A segunda linha é e a terceira linha é .
    • Podemos ver que a terceira linha não é múltiplo da segunda, então temos duas linhas independentes além da primeira.

Passo 6

Agora, resumindo:
  • Posto 1: Quando ou .
  • Posto 2: Para todos os outros valores de .
Como o exercício inicial mencionou , mas não há na matriz, assumimos que não afeta o posto. Portanto, os valores de podem ser quaisquer números reais.

Resposta

Existem valores de (especificamente e ) para os quais o posto da matriz é 1. Para todos os demais valores de , o posto de é 2. O valor de não afeta o posto da matriz.

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