Sejam a transformação linear T: P2(R) P3(R) dada por
T(p(t))=t cdot p(t)
e as bases alpha=1, t, t^2 de P2(R) e beta=1,1-t, 1-t^2, 1-t^3 de P3(R).
Determine (T)alpha, beta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma transformação linear que multiplica um polinômio por , ou seja, . Queremos encontrar a matriz dessa transformação na base para e na base para . Para isso, precisamos aplicar aos vetores da base e expressar os resultados na base .

Passo 2

Vamos aplicar a transformação aos elementos da base . Começando pelo primeiro elemento:

Passo 3

Agora, aplicamos ao segundo elemento da base :

Passo 4

Em seguida, aplicamos ao terceiro elemento da base :

Passo 5

Agora, temos os resultados das transformações: , e . Precisamos expressar cada um desses polinômios na base .

Passo 6

Vamos começar por . Queremos encontrar coeficientes tais que:
Resolvendo:
Comparando os coeficientes, temos:
(constante)
(coeficiente de )
E os demais termos de e são zero, então e .
Da equação , temos . E como , com , e , então .
Logo,
Portanto, as coordenadas de na base são .

Passo 7

Agora, vamos expressar na base . Procuramos tais que:
Resolvendo:
Comparando os coeficientes:
Constante:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Então, .
Logo,
As coordenadas de na base são .

Passo 8

Finalmente, vamos expressar na base . Procuramos tais que:
Resolvendo:
Comparando os coeficientes:
Constante:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Então, .
Logo,
As coordenadas de na base são .

Resposta

A matriz (T)alpha, beta = 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 é:

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