Sejam a transformação linear
dada por
e as bases
de
e
de
.
Determine
.
Determine
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma transformação linear
que multiplica um polinômio
por
, ou seja,
. Queremos encontrar a matriz dessa transformação na base
para
e na base
para
. Para isso, precisamos aplicar
aos vetores da base
e expressar os resultados na base
.
Passo 2
Vamos aplicar a transformação
aos elementos da base
. Começando pelo primeiro elemento:
Passo 3
Agora, aplicamos
ao segundo elemento da base
:
Passo 4
Em seguida, aplicamos
ao terceiro elemento da base
:
Passo 5
Agora, temos os resultados das transformações:
,
e
. Precisamos expressar cada um desses polinômios na base
.
Passo 6
Vamos começar por
. Queremos encontrar coeficientes
tais que:
Resolvendo:
Comparando os coeficientes, temos:
E os demais termos de
e
são zero, então
e
.
Da equação
, temos
. E como
, com
,
e
, então
.
Logo,
Portanto, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 7
Agora, vamos expressar
na base
. Procuramos
tais que:
Resolvendo:
Comparando os coeficientes:
Constante:
Coeficiente de
:
⇒
Coeficiente de
:
⇒
Coeficiente de
:
⇒
Então,
⇒
.
Logo,
As coordenadas de
na base
são
.
Passo 8
Finalmente, vamos expressar
na base
. Procuramos
tais que:
Resolvendo:
Comparando os coeficientes:
Constante:
Coeficiente de
:
⇒
Coeficiente de
:
⇒
Coeficiente de
:
⇒
Então,
⇒
.
Logo,
As coordenadas de
na base
são
.
Resposta
A matriz
é: