Seja A=[cc-3 & 1 2 & 2]. Escreva A e A^-1 como um produto de matrizes elementares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a matriz e sua inversa como um produto de matrizes elementares. Isso entra no conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e operações elementares. Para isso, vamos precisar entender como realizar operações que transformam a matriz original em uma matriz identidade, usando matrizes elementares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz elementar é obtida a partir da matriz identidade aplicando uma única operação elementar de linha. As operações elementares são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Somar um múltiplo de uma linha a outra linha.
Vamos usar essas operações para transformar na identidade . Cada operação que fazemos corresponde a multiplicar por uma matriz elementar. O produto dessas matrizes elementares será a matriz .

Passo 3

Começamos com a matriz A = -3 & 1 2 & 2 :
Queremos transformar em usando operações de linha. A cada passo, aplicamos uma operação e guardamos a matriz elementar correspondente.

Passo 4

Primeira operação: Vamos trocar a primeira e a segunda linha para facilitar os cálculos.
E1 = 0 & 1 1 & 0
Aplicando E1 A = 0 & 1 1 & 0 -3 & 1 2 & 2 = 2 & 2 -3 & 1 em :

Passo 5

Segunda operação: Vamos multiplicar a primeira linha por E2 = 12 & 0 0 & 1 para que o primeiro elemento seja 1.
E2 E1 A = 12 & 0 0 & 1 2 & 2 -3 & 1 = 1 & 1 -3 & 1
Aplicando na matriz resultante:

Passo 6

Terceira operação: Vamos somar 3 vezes a primeira linha à segunda linha para zerar o elemento abaixo do 1.
E3 = 1 & 0 3 & 1
Aplicando E3 E2 E1 A = 1 & 0 3 & 1 1 & 1 -3 & 1 = 1 & 1 0 & 4 :

Passo 7

Quarta operação: Vamos multiplicar a segunda linha por E4 = 1 & 0 0 & 14 para que o elemento seja 1.
E4 E3 E2 E1 A = 1 & 0 0 & 14 1 & 1 0 & 4 = 1 & 1 0 & 1
Aplicando :

Passo 8

Quinta operação: Vamos subtrair a segunda linha da primeira para zerar o elemento acima do 1.
E5 = 1 & -1 0 & 1
Aplicando E5 E4 E3 E2 E1 A = 1 & -1 0 & 1 1 & 1 0 & 1 = 1 & 0 0 & 1 = I :
A = E1^-1 E2^-1 E3^-1 E4^-1 E5^-1
Agora, , o que significa que:
Como inversas de matrizes elementares também são matrizes elementares, podemos expressar e como produtos dessas matrizes.

Resposta

As matrizes A = E1^-1 E2^-1 E3^-1 E4^-1 E5^-1 e A^-1 = E5 E4 E3 E2 E1 podem ser escritas como produtos de matrizes elementares da seguinte forma:
E1 = 0 & 1 1 & 0 , E2 = 12 & 0 0 & 1 , E3 = 1 & 0 3 & 1 ,
E4 = 1 & 0 0 & 14 , E5 = 1 & -1 0 & 1
Onde as matrizes elementares são:

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