Seja
. Escreva
e
como um produto de matrizes elementares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a matriz
e sua inversa
como um produto de matrizes elementares. Isso entra no conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e operações elementares. Para isso, vamos precisar entender como realizar operações que transformam a matriz original em uma matriz identidade, usando matrizes elementares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz elementar é obtida a partir da matriz identidade aplicando uma única operação elementar de linha. As operações elementares são:
- Trocar duas linhas.
- Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
- Somar um múltiplo de uma linha a outra linha.
Vamos usar essas operações para transformar
na identidade
. Cada operação que fazemos corresponde a multiplicar
por uma matriz elementar. O produto dessas matrizes elementares será a matriz
.
Passo 3
Começamos com a matriz
:
Queremos transformar
em
usando operações de linha. A cada passo, aplicamos uma operação e guardamos a matriz elementar correspondente.
Passo 4
Primeira operação: Vamos trocar a primeira e a segunda linha para facilitar os cálculos.
Aplicando
em
:
Passo 5
Segunda operação: Vamos multiplicar a primeira linha por
para que o primeiro elemento seja 1.
Aplicando
na matriz resultante:
Passo 6
Terceira operação: Vamos somar 3 vezes a primeira linha à segunda linha para zerar o elemento abaixo do 1.
Aplicando
:
Passo 7
Quarta operação: Vamos multiplicar a segunda linha por
para que o elemento seja 1.
Aplicando
:
Passo 8
Quinta operação: Vamos subtrair a segunda linha da primeira para zerar o elemento acima do 1.
Aplicando
:
Agora,
, o que significa que:
Como inversas de matrizes elementares também são matrizes elementares, podemos expressar
e
como produtos dessas matrizes.
Resposta
As matrizes
e
podem ser escritas como produtos de matrizes elementares da seguinte forma:
Onde as matrizes elementares são: