nabla times(a times b)=a(nabla cdot b)-b(nabla cdot a)+(b cdot nabla) a-(a cdot nabla) b

Passo 1

Beleza! Vamos verificar uma identidade importante em cálculo vetorial que envolve o rotacional (ou “curl”) do produto vetorial de dois vetores. Para isso, vamos precisar conhecer operações como o rotacional, divergente e produto vetorial. Vamos destrinchar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que o rotacional de um vetor, denotado por nabla times F, mede a tendência de rotação de um campo vetorial F. Já o produto vetorial a times b resulta em um vetor perpendicular aos vetores a e b.

Passo 3

Queremos encontrar o rotacional de a times b, ou seja, nabla times (a times b). Para isso, usamos uma identidade que relaciona o rotacional do produto vetorial com as divergências e derivadas direcionais desses vetores.

Passo 4

A identidade que vamos usar é:
nabla times (a times b) = a (nabla cdot b) - b (nabla cdot a) + (b cdot nabla) a - (a cdot nabla) b
Aqui, nabla cdot a e nabla cdot b são as divergências dos vetores a e b, respectivamente, e (b cdot nabla) a representa a derivada direcional de a na direção de b.

Passo 5

Vamos verificar cada termo:
  1. a (nabla cdot b): Multiplicamos o vetor a pela divergência de b.
  2. -b (nabla cdot a): Subtraímos o vetor b multiplicado pela divergência de a.
  3. (b cdot nabla) a: Calculamos a derivada de a na direção de b.
  4. -(a cdot nabla) b: Subtraímos a derivada de b na direção de a.

Passo 6

Ao somar todos esses termos, obtemos o rotacional do produto vetorial a times b. Essa identidade é útil para simplificar expressões em campos vetoriais, especialmente em física e engenharia.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
nabla times (a times b) = a (nabla cdot b) - b (nabla cdot a) + (b cdot nabla) a - (a cdot nabla) b

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