Passo 1
Beleza! Vamos verificar uma identidade importante em cálculo vetorial que envolve o rotacional (ou “curl”) do produto vetorial de dois vetores. Para isso, vamos precisar conhecer operações como o rotacional, divergente e produto vetorial. Vamos destrinchar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que o rotacional de um vetor, denotado por
, mede a tendência de rotação de um campo vetorial
. Já o produto vetorial
resulta em um vetor perpendicular aos vetores
e
.
Passo 3
Queremos encontrar o rotacional de
, ou seja,
. Para isso, usamos uma identidade que relaciona o rotacional do produto vetorial com as divergências e derivadas direcionais desses vetores.
Passo 4
A identidade que vamos usar é:
Aqui,
e
são as divergências dos vetores
e
, respectivamente, e
representa a derivada direcional de
na direção de
.
Passo 5
Vamos verificar cada termo:
-
: Multiplicamos o vetor pela divergência de . -
: Subtraímos o vetor multiplicado pela divergência de . -
: Calculamos a derivada de na direção de . -
: Subtraímos a derivada de na direção de .
Passo 6
Ao somar todos esses termos, obtemos o rotacional do produto vetorial
. Essa identidade é útil para simplificar expressões em campos vetoriais, especialmente em física e engenharia.
Resposta
Portanto, demonstramos que: