Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a divergência de um produto vetorial entre dois vetores
e
é igual a
. Isso está na área de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo operações como divergência (
), rotacional (
), e produto vetorial (
). Para resolver, vamos precisar entender o que cada uma dessas operações faz e como combiná-las.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Ela mede o quanto o campo “espalha” a partir de um ponto.
Passo 3
Agora, o rotacional (
) de um campo vetorial
é:
Ele indica a tendência do campo de girar ao redor de um ponto.
Passo 4
O produto vetorial
entre dois vetores
e
é dado por:
Ele resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Passo 5
Com esses conceitos em mente, vamos calcular a divergência do produto vetorial
:
Passo 6
Vamos expandir cada termo:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar os termos para agrupar as derivadas de
e
:
Passo 8
Observando que:
e
Passo 9
Substituindo esses resultados na expressão original, temos:
Isso confirma a identidade que queríamos demonstrar.
Resposta
Portanto, mostramos que
.