nabla cdot(a times b)=b cdot(nabla times a)-a cdot(nabla times b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a divergência de um produto vetorial entre dois vetores e é igual a . Isso está na área de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo operações como divergência ( ), rotacional ( ), e produto vetorial ( ). Para resolver, vamos precisar entender o que cada uma dessas operações faz e como combiná-las.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z é dada por:
Ela mede o quanto o campo “espalha” a partir de um ponto.

Passo 3

Agora, o rotacional ( nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z,, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x,, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) ) de um campo vetorial é:
Ele indica a tendência do campo de girar ao redor de um ponto.

Passo 4

O produto vetorial a times b = (ay bz - az by, az bx - ax bz, ax by - ay bx) entre dois vetores e é dado por:
Ele resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 5

Com esses conceitos em mente, vamos calcular a divergência do produto vetorial nabla cdot (a times b) = partialpartial x(ay bz - az by) + partialpartial y(az bx - ax bz) + partialpartial z(ax by - ay bx) :

Passo 6

Vamos expandir cada termo:
= ( partial aypartial x bz + ay partial bzpartial x - partial azpartial x by - az partial bypartial x ) + ( partial azpartial y bx + az partial bxpartial y - partial axpartial y bz - ax partial bzpartial y ) + ( partial axpartial z by + ax partial bypartial z - partial aypartial z bx - ay partial bxpartial z )

Passo 7

Agora, vamos reorganizar os termos para agrupar as derivadas de = ( partial aypartial x bz - partial azpartial x by ) + ( partial azpartial y bx - partial axpartial y bz ) + ( partial axpartial z by - partial aypartial z bx ) + ay partial bzpartial x - az partial bypartial x + az partial bxpartial y - ax partial bzpartial y + ax partial bypartial z - ay partial bxpartial z e :

Passo 8

Observando que:
b cdot (nabla times a) = bx ( partial azpartial y - partial aypartial z ) + by ( partial axpartial z - partial azpartial x ) + bz ( partial aypartial x - partial axpartial y )
e
a cdot (nabla times b) = ax ( partial bzpartial y - partial bypartial z ) + ay ( partial bxpartial z - partial bzpartial x ) + az ( partial bypartial x - partial bxpartial y )

Passo 9

Substituindo esses resultados na expressão original, temos:
nabla cdot (a times b) = b cdot (nabla times a) - a cdot (nabla times b)
Isso confirma a identidade que queríamos demonstrar.

Resposta

Portanto, mostramos que .

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