Expanda a função dada em uma série de Maclaurin e calcule o raio de convergência:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente expandir a função em uma série de Maclaurin e calcular o raio de convergência dessa série. Basicamente, vamos usar a série de Maclaurin, que é uma forma de representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a série de Maclaurin para o cosseno e depois adaptar para a nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Maclaurin para a função cosseno. A série de Maclaurin para é dada por:
Isso significa que podemos escrever o cosseno de qualquer número como uma soma infinita de termos que envolvem potências pares desse número.

Passo 3

Agora, vamos adaptar essa série para a nossa função . Para isso, substituímos por na série de Maclaurin que vimos:

Passo 4

Vamos simplificar um pouco essa expressão. Elevando à potência , temos:
Substituindo de volta na série, ficamos com:

Passo 5

Agora, vamos calcular o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. Considerando o termo geral:
Aplicando o teste, calculamos o limite:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todo valor de . Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A expansão em série de Maclaurin da função é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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