Expanda a função dada em uma série de Maclaurin e calcule o raio de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente expandir a função em uma série de Maclaurin e calcular o raio de convergência dessa série. Basicamente, vamos usar a série de Maclaurin, que é uma forma de representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a série de Maclaurin para o cosseno e depois adaptar para a nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de Maclaurin para a função cosseno. A série de Maclaurin para é dada por:
Isso significa que podemos escrever o cosseno de qualquer número como uma soma infinita de termos que envolvem potências pares desse número.
Passo 3
Agora, vamos adaptar essa série para a nossa função . Para isso, substituímos por na série de Maclaurin que vimos:
Passo 4
Vamos simplificar um pouco essa expressão. Elevando à potência , temos:
Substituindo de volta na série, ficamos com:
Passo 5
Agora, vamos calcular o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. Considerando o termo geral:
Aplicando o teste, calculamos o limite:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todo valor de . Portanto, o raio de convergência é infinito.