(a) Expanda 1 / raiz(1 + x) como uma série de potências.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para expandir como uma série de potências. Isso envolve entender a expansão binomial, que é uma maneira de escrever expressões como potências de binômios em forma de série.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que pode ser reescrito como . Isso é útil porque a expansão binomial é aplicável a expressões da forma , onde pode ser qualquer número real.

Passo 3

A expansão binomial para é dada por:
No nosso caso, , então vamos substituir esse valor na fórmula.

Passo 4

Substituindo na fórmula da expansão binomial, temos:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
  • Quarto termo:

Passo 6

Assim, juntando tudo, a série de potências fica:

Resposta

A expansão de como série de potências é:

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