Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
31.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que expandir a função
usando a série binomial e descobrir qual é o raio de convergência dessa expansão. Isso envolve conhecimentos de séries de potências e da fórmula binomial para expoentes negativos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação da série binomial. Podemos separar a expressão assim:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte
. Sabemos que a série binomial para
é dada por:
No nosso caso,
, então a série fica:
Passo 4
Voltando à nossa expressão original, substituímos a série que encontramos:
Podemos reescrever isso mudando o índice de soma para facilitar:
Passo 5
Agora, vamos falar sobre o raio de convergência. A série binomial
converge quando
. Como multiplicamos por
, isso não altera o intervalo de convergência. Portanto, o raio de convergência continua sendo:
Resposta
A expansão da função
usando a série binomial é:
E o raio de convergência dessa série é
.
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a) a área de uma face lateral;
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