Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.
31.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que expandir a função usando a série binomial e descobrir qual é o raio de convergência dessa expansão. Isso envolve conhecimentos de séries de potências e da fórmula binomial para expoentes negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação da série binomial. Podemos separar a expressão assim:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte . Sabemos que a série binomial para é dada por:
No nosso caso, , então a série fica:

Passo 4

Voltando à nossa expressão original, substituímos a série que encontramos:
Podemos reescrever isso mudando o índice de soma para facilitar:

Passo 5

Agora, vamos falar sobre o raio de convergência. A série binomial converge quando . Como multiplicamos por , isso não altera o intervalo de convergência. Portanto, o raio de convergência continua sendo:

Resposta

A expansão da função usando a série binomial é:
E o raio de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados

Considere um paralelepípedo retângulo com 4 cm de largura, 5 cm de comprimento e de volume. Determine sua altura e a diagonal.
Em uma pirâmide reta, a base é um quadrado de lado 10 cm . Se a altura de uma face lateral mede 13 cm , calcule:
a) a área de uma face lateral;
Resolva as seguintes EDO