Expanda em séries de Legendre a funcesu dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função que vale entre e , e entre e . A tarefa é expandir essa função em uma série de Legendre. Isso significa que vamos expressar como uma soma de polinômios de Legendre, que são uma sequência especial de polinômios ortogonais usados em várias áreas da física e matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender a ortogonalidade dos polinômios de Legendre e como calcular os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os polinômios de Legendre, , são ortogonais no intervalo . Isso significa que, para qualquer , a integral de de a é zero. Essa propriedade é super útil para encontrar os coeficientes da série.

Passo 3

A forma geral da expansão de Legendre para a nossa função é:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes .

Passo 4

Para encontrar , usamos a fórmula de projeção, que aproveita a ortogonalidade dos polinômios:
Essa fórmula nos dá o coeficiente multiplicando a contribuição de cada polinômio de Legendre na função .

Passo 5

Vamos calcular a integral. Sabemos que é de a e de a . Então, a integral se divide em duas partes:
Já que a parte de a é zero.

Passo 6

Agora, precisamos calcular . Felizmente, existe uma fórmula para integrar os polinômios de Legendre:
Avaliaremos essa antiderivada de a .

Passo 7

Aplicando os limites, temos:
Sabemos que para todo e .

Passo 8

Simplificando, a integral fica:
Portanto:

Passo 9

Os valores de dependem se é par ou ímpar. De fato, para polinômios de Legendre, se é ímpar, e para par, existe uma expressão específica.
Depois de calcular para cada , podemos construir a série.

Resposta

A expansão em série de Legendre da função é dada por:

Exercícios relacionados

No Cálculo do campo produzido por um dipolo elétrico, considere o ponto em questão no eixo z, isto é, calcule o campo produzido por um dipolo ao longo do eixo do dipolo. Mostre que para grandes valores de z, o campo elétrico é dado por .
Se uma corda de violino, com o mesmo tamanho do tubo e massa de 500 mg , tiver a mesma frequência fundamental do tubo, então qual será a tensão na corda.
Uma particula possui carga e velocidade dada por: , onde os componentes da velocidade saio dados . A particula entra num campo magnético que possui módulo constante eque é caracterizado por . onde gauss e gauss. Determine: (a) a força magnética sobré a particula (módulo, direção e sentido), (b) o ângulo entre a velocidade inicial o vetor .
Um elétron com velocidade ( ) dada por penetra num campo magnético (em T) dado por . (a) Determine o módulo e o sentido da força sobre o elétron. (b) Repita o seu calculo para um dèuteron com a mesma velocidade.
Resposta: (a) . (b) .