Expanda em séries de Legendre a funcesu f(x) dada por
f(x)=lc 0, & -1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função f(x) que vale 0 entre -1 e 0, e 1 entre 0 e 1. A tarefa é expandir essa função em uma série de Legendre. Isso significa que vamos expressar f(x) como uma soma de polinômios de Legendre, que são uma sequência especial de polinômios ortogonais usados em várias áreas da física e matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender a ortogonalidade dos polinômios de Legendre e como calcular os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os polinômios de Legendre, Pn(x), são ortogonais no intervalo [-1, 1]. Isso significa que, para qualquer m neq n, a integral de Pm(x)Pn(x) de -1 a 1 é zero. Essa propriedade é super útil para encontrar os coeficientes da série.

Passo 3

A forma geral da expansão de Legendre para a nossa função f(x) é:
f(x) = sumn=0^infty an Pn(x)
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes an.

Passo 4

Para encontrar an, usamos a fórmula de projeção, que aproveita a ortogonalidade dos polinômios:
an = 2n + 12 integral-1^1 f(x) Pn(x) , dx
Essa fórmula nos dá o coeficiente an multiplicando a contribuição de cada polinômio de Legendre na função f(x).

Passo 5

Vamos calcular a integral. Sabemos que f(x) é 0 de -1 a 0 e 1 de 0 a 1. Então, a integral se divide em duas partes:
integral-1^1 f(x) Pn(x) , dx = integral0^1 Pn(x) , dx
Já que a parte de -1 a 0 é zero.

Passo 6

Agora, precisamos calcular integral0^1 Pn(x) , dx. Felizmente, existe uma fórmula para integrar os polinômios de Legendre:
integral Pn(x) , dx = Pn+1(x) - Pn-1(x)2n + 1 + C
Avaliaremos essa antiderivada de 0 a 1.

Passo 7

Aplicando os limites, temos:
integral0^1 Pn(x) , dx = [ Pn+1(1) - Pn-1(1)2n + 1 ] - [ Pn+1(0) - Pn-1(0)2n + 1 ]
Sabemos que Pn(1) = 1 para todo n e Pn(-1) = (-1)^n.

Passo 8

Simplificando, a integral fica:
integral0^1 Pn(x) , dx = 1 - 12n + 1 - Pn+1(0) - Pn-1(0)2n + 1 = -Pn+1(0) - Pn-1(0)2n + 1
Portanto:
an = 2n + 12 ( -Pn+1(0) - Pn-1(0)2n + 1 ) = -Pn+1(0) - Pn-1(0)2

Passo 9

Os valores de Pn(0) dependem se n é par ou ímpar. De fato, para polinômios de Legendre, Pn(0) = 0 se n é ímpar, e para n par, existe uma expressão específica.
Depois de calcular an para cada n, podemos construir a série.

Resposta

A expansão em série de Legendre da função f(x) é dada por:
f(x) = sumn=0^infty ( -Pn+1(0) - Pn-1(0)2 ) Pn(x)

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