Expanda em séries de Legendre a funcesu
dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
que vale
entre
e
, e
entre
e
. A tarefa é expandir essa função em uma série de Legendre. Isso significa que vamos expressar
como uma soma de polinômios de Legendre, que são uma sequência especial de polinômios ortogonais usados em várias áreas da física e matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender a ortogonalidade dos polinômios de Legendre e como calcular os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os polinômios de Legendre,
, são ortogonais no intervalo
. Isso significa que, para qualquer
, a integral de
de
a
é zero. Essa propriedade é super útil para encontrar os coeficientes da série.
Passo 3
A forma geral da expansão de Legendre para a nossa função
é:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
.
Passo 4
Para encontrar
, usamos a fórmula de projeção, que aproveita a ortogonalidade dos polinômios:
Essa fórmula nos dá o coeficiente
multiplicando a contribuição de cada polinômio de Legendre na função
.
Passo 5
Vamos calcular a integral. Sabemos que
é
de
a
e
de
a
. Então, a integral se divide em duas partes:
Já que a parte de
a
é zero.
Passo 6
Agora, precisamos calcular
. Felizmente, existe uma fórmula para integrar os polinômios de Legendre:
Avaliaremos essa antiderivada de
a
.
Passo 7
Aplicando os limites, temos:
Sabemos que
para todo
e
.
Passo 8
Simplificando, a integral fica:
Portanto:
Passo 9
Os valores de
dependem se
é par ou ímpar. De fato, para polinômios de Legendre,
se
é ímpar, e para
par, existe uma expressão específica.
Depois de calcular
para cada
, podemos construir a série.
Resposta
A expansão em série de Legendre da função
é dada por: