Uma particula possui carga q=0,5 pC e velocidade dada por: v=2 i-3 j, onde os componentes da velocidade saio dados em m / s. A particula entra num campo magnético que possui módulo constante eque é caracterizado por B=Bx i+By j. onde Bx=0,05 gauss e By=0,10 gauss. Determine: (a) a força magnética sobré a particula (módulo, direção e sentido), (b) o ângulo entre a velocidade inicial e o vetor B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com carga (picoCoulombs) e uma velocidade representada pelo vetor em metros por segundo. Essa partícula entra em um campo magnético constante dado por , onde gauss e gauss. Vamos precisar das fórmulas para força magnética e para calcular o ângulo entre dois vetores. Nosso objetivo é:
(a) Determinar a força magnética sobre a partícula (módulo, direção e sentido).
(b) Encontrar o ângulo entre a velocidade inicial e o vetor do campo magnético .

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI). Sabemos que:
  • q = 0,5 times 10^-12 , C
  • Bx = 0,05 times 10^-4 , T = 5 times 10^-6 , T (tesla)
Então, a carga e os componentes do campo magnético ficam:
By = 0,10 times 10^-4 , T = 1 times 10^-5 , T

Passo 3

Agora, precisamos calcular a força magnética F = q , v times B na partícula. A fórmula para a força magnética é dada por:
Isso significa que a força é o produto da carga pelo produto vetorial da velocidade pelo campo magnético. Vamos calcular esse produto vetorial.

Passo 4

Vamos escrever os vetores v = 2,i - 3,j , m/s e B = Bx,i + By,j = 5 times 10^-6,i + 1 times 10^-5,j , T com suas componentes:
v times B = (vx By - vy Bx), k
v times B = (2 times 1 times 10^-5 - (-3) times 5 times 10^-6), k
O produto vetorial = (2 times 10^-5 + 15 times 10^-6), k é calculado assim:
= 3,5 times 10^-5, k , T,m/s
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, multiplicamos o resultado pelo valor da carga F = q , (v times B) para encontrar a força:
= 0,5 times 10^-12 , C times 3,5 times 10^-5, k , N
= 1,75 times 10^-17, k , N
Então, a força magnética está na direção do vetor , que é perpendicular ao plano formado pelos vetores e .

Passo 6

Para encontrar o módulo da força, já temos o valor:
|F| = 1,75 times 10^-17 , N
A direção é ao longo do eixo , e o sentido é positivo na direção de .

Passo 7

Agora, vamos calcular o ângulo entre a velocidade cos(theta) = v cdot B|v|, |B| e o campo magnético v cdot B = vx Bx + vy By = 2 times 5 times 10^-6 + (-3) times 1 times 10^-5 . Usamos a fórmula do produto escalar:
= 1 times 10^-5 - 3 times 10^-5 = -2 times 10^-5 , T,m/s
Primeiro, calculamos o produto escalar |v| = raiz2^2 + (-3)^2 = raiz4 + 9 = raiz13 approx 3,605 , m/s :
|B| = raiz(5 times 10^-6)^2 + (1 times 10^-5)^2 = raiz25 times 10^-12 + 100 times 10^-12 = raiz125 times 10^-12 approx 1,118 times 10^-5 , T
cos(theta) = -2 times 10^-53,605 times 1,118 times 10^-5 approx -24,028 approx -0,497
Agora, calculamos os módulos de theta = arccos(-0,497) approx 119,4^circ e :
Então,
Agora, calculamos o ângulo :

Resposta

(a) A força magnética sobre a partícula tem módulo de aproximadamente , está direcionada ao longo do eixo (perpendicular ao plano ) e aponta no sentido positivo de .
(b) O ângulo entre a velocidade inicial e o vetor do campo magnético é aproximadamente .

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