Sem expandir o binômio no integrando, use integração por partes para calcular a integral definida
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos que calcular a integral definida de
de 0 a 1. Vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções. Pra isso, precisamos identificar qual parte da expressão vamos derivar e qual vamos integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher
e
de forma estratégica. Vamos escolher:
-
(porque derivar isso vai simplificar) -
(e a gente consegue integrar isso direitinho)
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
Para encontrar
, vamos integrar
:
Usando substituição, seja
, então
. Assim:
Passo 4
Substituindo na fórmula da integração por partes:
Então:
Passo 5
Vamos simplificar isso:
Primeiro, calcular o termo das bordas:
Agora, o segundo termo:
Passo 6
Aí percebemos que a nova integral é bem parecida com a original, só que com os expoentes reduzidos. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa nova integral.
Escolhemos agora:
Derivando e integrando:
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Simplificando:
O termo das bordas é zero novamente, então:
Passo 8
Repetimos o processo mais uma vez para essa nova integral. Escolhemos:
Derivando e integrando:
Passo 9
Aplicando a integração por partes:
Simplificando:
Mais uma vez, o termo das bordas é zero:
Passo 10
Vamos aplicar integração por partes pela última vez nessa sequência. Escolhemos:
Derivando e integrando:
Passo 11
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
O termo das bordas é zero mais uma vez:
Passo 12
Agora, essa última integral é direta de calcular:
Passo 13
Voltando aos passos anteriores:
Substituindo de volta:
Continuando:
E finalmente:
Resposta
A integral definida é igual a
.
Exercícios relacionados
Use o item (b) para obter a primitiva
da função
tal que
Verifique, usando integração por partes:
b)
b)
Neste exercício, primeiro faça uma substituição conveniente e, na sequência, use integração por partes para calcular
а)
а)
Considere uma constante
.
(a) Determine a parte real e a parte imaginária da função .
(a) Determine a parte real e a parte imaginária da função