Sem expandir o binômio no integrando, use integração por partes para calcular a integral definida

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos que calcular a integral definida de de 0 a 1. Vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções. Pra isso, precisamos identificar qual parte da expressão vamos derivar e qual vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher e de forma estratégica. Vamos escolher:
  • (porque derivar isso vai simplificar)
  • (e a gente consegue integrar isso direitinho)

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :
Para encontrar , vamos integrar :
Usando substituição, seja , então . Assim:

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:
Então:

Passo 5

Vamos simplificar isso:
Primeiro, calcular o termo das bordas:
Agora, o segundo termo:

Passo 6

Aí percebemos que a nova integral é bem parecida com a original, só que com os expoentes reduzidos. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa nova integral.
Escolhemos agora:
Derivando e integrando:

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Simplificando:
O termo das bordas é zero novamente, então:

Passo 8

Repetimos o processo mais uma vez para essa nova integral. Escolhemos:
Derivando e integrando:

Passo 9

Aplicando a integração por partes:
Simplificando:
Mais uma vez, o termo das bordas é zero:

Passo 10

Vamos aplicar integração por partes pela última vez nessa sequência. Escolhemos:
Derivando e integrando:

Passo 11

Aplicando a fórmula:
Simplificando:
O termo das bordas é zero mais uma vez:

Passo 12

Agora, essa última integral é direta de calcular:

Passo 13

Voltando aos passos anteriores:
Substituindo de volta:
Continuando:
E finalmente:

Resposta

A integral definida é igual a .

Exercícios relacionados

Use o item (b) para obter a primitiva da função tal que
Verifique, usando integração por partes:
b)
Neste exercício, primeiro faça uma substituição conveniente e, na sequência, use integração por partes para calcular
а)
Considere uma constante .
(a) Determine a parte real e a parte imaginária da função .