Sem expandir o binômio no integrando, use integração por partes para calcular a integral definida
integral0^1 x^4(1-x)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos que calcular a integral definida de de 0 a 1. Vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções. Pra isso, precisamos identificar qual parte da expressão vamos derivar e qual vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher e de forma estratégica. Vamos escolher:
  • (porque derivar isso vai simplificar)
  • (e a gente consegue integrar isso direitinho)

Passo 3

Agora, vamos derivar u = x^4 Rightarrow du = 4x^3 dx e integrar dv = (1 - x)^3 dx Rightarrow v = integral (1 - x)^3 dx :
v = -integral t^3 dt = -t^44 + C = -(1 - x)^44
Para encontrar , vamos integrar :
Usando substituição, seja , então . Assim:

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral0^1 x^4(1 - x)^3 dx = [ u cdot v ]0^1 - integral0^1 v cdot du
Então:
= [ x^4 cdot ( -(1 - x)^44 ) ]0^1 - integral0^1 ( -(1 - x)^44 ) cdot 4x^3 dx

Passo 5

Vamos simplificar isso:
Primeiro, calcular o termo das bordas:
[ -x^4(1 - x)^44 ]0^1 = -1^4(1 - 1)^44 + 0^4(1 - 0)^44 = 0 + 0 = 0
Agora, o segundo termo:
- integral0^1 ( -(1 - x)^44 ) cdot 4x^3 dx = integral0^1 x^3(1 - x)^4 dx

Passo 6

Aí percebemos que a nova integral é bem parecida com a original, só que com os expoentes reduzidos. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa nova integral.
Escolhemos agora:
  • u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 dx
  • dv = (1 - x)^4 dx Rightarrow v = -(1 - x)^55
Derivando e integrando:

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral0^1 x^3(1 - x)^4 dx = [ x^3 cdot ( -(1 - x)^55 ) ]0^1 - integral0^1 ( -(1 - x)^55 ) cdot 3x^2 dx
Simplificando:
= [ -x^3(1 - x)^55 ]0^1 + 35 integral0^1 x^2(1 - x)^5 dx
O termo das bordas é zero novamente, então:
= 35 integral0^1 x^2(1 - x)^5 dx

Passo 8

Repetimos o processo mais uma vez para essa nova integral. Escolhemos:
  • u = x^2 Rightarrow du = 2x dx
  • dv = (1 - x)^5 dx Rightarrow v = -(1 - x)^66
Derivando e integrando:

Passo 9

Aplicando a integração por partes:
integral0^1 x^2(1 - x)^5 dx = [ x^2 cdot ( -(1 - x)^66 ) ]0^1 - integral0^1 ( -(1 - x)^66 ) cdot 2x dx
Simplificando:
= [ -x^2(1 - x)^66 ]0^1 + 26 integral0^1 x(1 - x)^6 dx
Mais uma vez, o termo das bordas é zero:
= 13 integral0^1 x(1 - x)^6 dx

Passo 10

Vamos aplicar integração por partes pela última vez nessa sequência. Escolhemos:
  • u = x Rightarrow du = dx
  • dv = (1 - x)^6 dx Rightarrow v = -(1 - x)^77
Derivando e integrando:

Passo 11

Aplicando a fórmula:
integral0^1 x(1 - x)^6 dx = [ x cdot ( -(1 - x)^77 ) ]0^1 - integral0^1 ( -(1 - x)^77 ) dx
Simplificando:
= [ -x(1 - x)^77 ]0^1 + 17 integral0^1 (1 - x)^7 dx
O termo das bordas é zero mais uma vez:
= 17 integral0^1 (1 - x)^7 dx

Passo 12

Agora, essa última integral é direta de calcular:
integral0^1 (1 - x)^7 dx = [ -(1 - x)^88 ]0^1 = ( 0 - ( -18 ) ) = 18

Passo 13

Voltando aos passos anteriores:
integral0^1 x(1 - x)^6 dx = 17 cdot 18 = 156
Substituindo de volta:
integral0^1 x^2(1 - x)^5 dx = 13 cdot 156 = 1168
Continuando:
integral0^1 x^3(1 - x)^4 dx = 35 cdot 1168 = 1280
E finalmente:
integral0^1 x^4(1 - x)^3 dx = 0 + 1280 = 1280

Resposta

A integral definida é igual a .

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