A expansão binomial
simbolicamente representada por:
e conhecida por binômio de Newton, foi generalizada por volta de 1665 por Newton, no caso em que o expoente é um número fracionário positivo ou negativo, onde ele obteve uma expansão em série infinita para . Motivados pela fórmula binomial de Newton (0.1) encontra-se a seguinte expansão em série de potências para a função , sendo um número real qualquer, a qual será a série de Maclaurin de :
cujo -ésimo termo é , temos que:
e, portanto, a série binomial converge absolutamente quando e diverge quando .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá falando. A gente está lidando com a expansão binomial, que é basicamente uma forma de expandir expressões como . Aqui, o autor menciona o Binômio de Newton, que generalizou essa expansão para quaisquer números reais, não só inteiros. Para resolvermos isso, vamos precisar entender séries de potências, especificamente a série de Maclaurin, e também usar o teste da razão para verificar a convergência da série.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na função dada: , onde é qualquer número real. A série de Maclaurin dessa função é uma expansão em série de potências que representa quando . A série fica assim:
Aqui, cada termo da série envolve e elevados a diferentes potências.

Passo 3

Agora, vamos identificar o n-ésimo termo dessa série, que é fundamental para aplicar o teste da razão. O termo geral é dado por:
Esse termo representa cada “pedacinho” da nossa série de Maclaurin.

Passo 4

Para determinar onde essa série converge, vamos usar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a descobrir se a série está “estável” ou se ela explode para valores muito altos de . Aplicamos o teste da seguinte maneira:
Substituindo e na expressão, temos:
Simplificando isso, ficamos com:

Passo 5

Vamos analisar esse limite. Olhando para a fração , à medida que cresce, o termo domina, então:
Portanto, o limite fica:
De acordo com o teste da razão, a série converge absolutamente se esse limite for menor que 1, ou seja, quando , e diverge quando .

Resposta

A série binomial converge absolutamente para todos os valores de tais que e diverge quando .

Exercícios relacionados

Usando a série binomial para , calcule o valor de com 3 casas decimais e compare o valor com o resultado obtido em uma calculadora.
Uma função , infinitamente derivável, é tal que , e . Represente a função por uma série de potências de . Idem para uma função com as propriedades: e .