A expansão binomial
(x+y)^k=x^k+k x^k-1 y+k(k-1)2! x^k-2 y^2+cdots+y^k, k=1,2,3, ldots
simbolicamente representada por:
(x+y)^k=sumj=0^kbinomkj x^j y^k-j
e conhecida por binômio de Newton, foi generalizada por volta de 1665 por Newton, no caso em que o expoente k é um número fracionário positivo ou negativo, onde ele obteve uma expansão em série infinita para (x+y)^k. Motivados pela fórmula binomial de Newton (0.1) encontra-se a seguinte expansão em série de potências para a função f(x)=(1+x)^alpha, sendo alpha um número real qualquer, a qual será a série de Maclaurin de f :
(1+x)^alpha=1+alpha x+alpha(alpha-1) x^22!+cdots+alpha(alpha-1) cdots(alpha-n+1) x^nn!+cdots, |x|<1
cujo n-ésimo termo é an=alpha(alpha-1) cdots(alpha-n+1) x^nn!, temos que:
lim n infty|an+1an|=lim n infty|x| alpha-nn+1|=| x rvert,
e, portanto, a série binomial converge absolutamente quando |x|<1 e diverge quando |x|>1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá falando. A gente está lidando com a expansão binomial, que é basicamente uma forma de expandir expressões como . Aqui, o autor menciona o Binômio de Newton, que generalizou essa expansão para quaisquer números reais, não só inteiros. Para resolvermos isso, vamos precisar entender séries de potências, especificamente a série de Maclaurin, e também usar o teste da razão para verificar a convergência da série.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na função dada: (1+x)^alpha = 1 + alpha x + alpha(alpha - 1)2!x^2 + cdots + alpha(alpha - 1) cdots (alpha - n + 1)n!x^n + cdots , onde é qualquer número real. A série de Maclaurin dessa função é uma expansão em série de potências que representa quando . A série fica assim:
Aqui, cada termo da série envolve e elevados a diferentes potências.

Passo 3

Agora, vamos identificar o n-ésimo termo dessa série, que é fundamental para aplicar o teste da razão. O termo geral an = alpha(alpha - 1) cdots (alpha - n + 1)n!x^n é dado por:
Esse termo representa cada “pedacinho” da nossa série de Maclaurin.

Passo 4

Para determinar onde essa série converge, vamos usar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a descobrir se a série está “estável” ou se ela explode para valores muito altos de limn to infty | an+1an | . Aplicamos o teste da seguinte maneira:
limn to infty | alpha(alpha - 1) cdots (alpha - (n+1) + 1)(n+1)!x^n+1 cdot n!alpha(alpha - 1) cdots (alpha - n + 1)x^-n |
Substituindo limn to infty |x| cdot alpha - nn + 1 e na expressão, temos:
Simplificando isso, ficamos com:

Passo 5

Vamos analisar esse limite. Olhando para a fração alpha - nn + 1 approx -nn = -1 , à medida que limn to infty |x| cdot |-1| = |x| cresce, o termo domina, então:
Portanto, o limite fica:
De acordo com o teste da razão, a série converge absolutamente se esse limite for menor que 1, ou seja, quando , e diverge quando .

Resposta

A série binomial converge absolutamente para todos os valores de tais que e diverge quando .

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