integral cos x cos 5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente no produto de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de cossenos em uma soma, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que é super útil quando temos o produto de dois cossenos. A identidade é:
cos A cos B = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)]
Aqui, e são ângulos quaisquer. No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos aplicar essa identidade ao nosso integrando cos x cos 5x = 12 [cos(x + 5x) + cos(x - 5x)] = 12 [cos 6x + cos(-4x)] :
cos(-4x) = cos 4x
Sabemos que cos x cos 5x = 12 [cos 6x + cos 4x] , então:
Portanto, a expressão fica:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral original:
integral cos x cos 5x , dx = integral 12 [cos 6x + cos 4x] , dx = 12 integral cos 6x , dx + 12 integral cos 4x , dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 12 integral cos 6x , dx = 12 cdot 16 sin 6x = 112 sin 6x em relação a 12 integral cos 4x , dx = 12 cdot 14 sin 4x = 18 sin 4x é . Aplicando isso:

Passo 6

Juntando os dois resultados, temos:
112 sin 6x + 18 sin 4x + C
onde é a constante de integração.

Resposta

integral cos x cos 5x , dx = 112 sin 6x + 18 sin 4x + C

Exercícios relacionados