Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente no produto de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que transforma o produto de cossenos em uma soma, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que é super útil quando temos o produto de dois cossenos. A identidade é:
Aqui, e são ângulos quaisquer. No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos aplicar essa identidade ao nosso integrando :
Sabemos que , então:
Portanto, a expressão fica:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral original:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 6

Juntando os dois resultados, temos:
onde é a constante de integração.

Resposta

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A expansão binomial
simbolicamente representada por:
e conhecida por binômio de Newton, foi generalizada por volta de 1665 por Newton, no caso em que o expoente é um número fracionário positivo ou negativo, onde ele obteve uma expansão em série infinita para . Motivados pela fórmula binomial de Newton (0.1) encontra-se a seguinte expansão em série de potências para a função , sendo um número real qualquer, a qual será a série de Maclaurin de :
cujo -ésimo termo é , temos que:
e, portanto, a série binomial converge absolutamente quando e diverge quando .