integral 15+raiz[3]x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente integração de funções que têm radicais no denominador. Para resolver, vamos precisar usar substituição e um pouco de álgebra para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar dx = 3t^2 , dt . Isso significa que integral 15 + t cdot 3t^2 , dt = 3 integral t^25 + t , dt . Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados, temos:
Então, a nossa integral agora fica em termos de :

Passo 3

Agora, vamos focar na integral t^2 = (t + 5)(t - 5) + 25 . Para resolver isso, vamos usar a divisão de polinômios. Queremos dividir t^2t + 5 = t - 5 + 25t + 5 por 3 integral ( t - 5 + 25t + 5 ) , dt .
Dividindo por , obtemos:
Portanto:
Agora, substituímos isso de volta na integral:

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
3 ( integral t , dt - integral 5 , dt + integral 25t + 5 , dt )
Integrando cada um:
3 ( t^22 - 5t + 25 ln|t + 5| ) + C
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos substituir 3 ( (raiz[3]x)^22 - 5raiz[3]x + 25 ln|raiz[3]x + 5| ) + C de volta na expressão:
32 x^23 - 15 x^13 + 75 ln| raiz[3]x + 5 | + C
Simplificando:

Resposta

A integral de 32 x^23 - 15 x^13 + 75 ln| raiz[3]x + 5 | + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

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