Em um experimento, um corpo é lançado horizontalmente de cima de uma mesa de altura y (medida a partir do solo) com uma velocidade v, atingindo o solo a uma distância x da linha vertical do ponto de lançamento. A relação entre as grandezas medidas é:
y=g x^22 v^2
Em que g=9,7915 m / s^2 é a aceleração local da gravidade, considerando que v=(2,524 pm 0,005) m cdot s^-1 e utilizando os dados da tabela:
y(m) 0,7992 0,8002 0,8005 0,810 0,7998
x(m) 1,0097 1,0102 1,0105 1,0100 1,0101
a) Calcule o valor mais provável e o erro experimental
b) O valor da aceleração da gravidade g no local da experiência e compare com o valor dado no problema.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos um corpo lançado horizontalmente de uma mesa com altura y = g x^22 v^2 e velocidade , que atinge o solo a uma distância da base da mesa. A relação entre essas grandezas é dada pela fórmula:
Aqui, é a aceleração da gravidade local, e a velocidade é dada com uma incerteza. Para resolver o exercício, vamos precisar calcular valores médios das medidas de e , determinar o valor mais provável e o erro experimental, e depois calcular a aceleração da gravidade a partir dos dados experimentais.

Passo 2

Vamos começar calculando o valor médio das alturas bary = 0,7992 + 0,8002 + 0,8005 + 0,810 + 0,79985 e das distâncias barx = 1,0097 + 1,0102 + 1,0105 + 1,0100 + 1,01015 a partir dos dados fornecidos.
Dados:
0,7992 0,8002 0,8005 0,810 0,7998
1,0097 1,0102 1,0105 1,0100 1,0101
Cálculo das Médias:

Passo 3

Vamos calcular as médias:
bary = 0,7992 + 0,8002 + 0,8005 + 0,810 + 0,79985 = 4,00975 = 0,80194 , m
barx = 1,0097 + 1,0102 + 1,0105 + 1,0100 + 1,01015 = 5,05055 = 1,0101 , m

Passo 4

Agora, precisamos calcular o erro experimental. Para isso, vamos calcular a média dos valores de sigmay = raiz1N-1 sumi=1^N (yi - bary)^2 e sigmax = raiz1N-1 sumi=1^N (xi - barx)^2 e determinar o desvio padrão de cada conjunto de dados.
Desvio Padrão:
Para :
Para :
Onde .

Passo 5

Calculando o desvio padrão para sigmay = raiz14 [(0,7992 - 0,80194)^2 + (0,8002 - 0,80194)^2 + (0,8005 - 0,80194)^2 + (0,810 - 0,80194)^2 + (0,7998 - 0,80194)^2] :
(0,7992 - 0,80194)^2 = (-0,00274)^2 = 7,5076 times 10^-6
Vamos calcular cada termo:
(0,8002 - 0,80194)^2 = (-0,00174)^2 = 3,0276 times 10^-6
(0,8005 - 0,80194)^2 = (-0,00144)^2 = 2,0736 times 10^-6
(0,810 - 0,80194)^2 = (0,00806)^2 = 6,49696 times 10^-5
(0,7998 - 0,80194)^2 = (-0,00214)^2 = 4,5796 times 10^-6
7,5076 times 10^-6 + 3,0276 times 10^-6 + 2,0736 times 10^-6 + 6,49696 times 10^-5 + 4,5796 times 10^-6 = 7,5076e-6 + 3,0276e-6 + 2,0736e-6 + 6,49696e-5 + 4,5796e-6 = 7,5076e-6 + 3,0276e-6 + 2,0736e-6 + 64,9696e-6 + 4,5796e-6 = 81,157e-6
Somando todos:
sigmay = raiz81,157 times 10^-64 = raiz20,28925 times 10^-6 approx 0,004507 , m
Arredondando,

Passo 6

Agora, calculando o desvio padrão para sigmax = raiz14 [(1,0097 - 1,0101)^2 + (1,0102 - 1,0101)^2 + (1,0105 - 1,0101)^2 + (1,0100 - 1,0101)^2 + (1,0101 - 1,0101)^2] :
(1,0097 - 1,0101)^2 = (-0,0004)^2 = 1,6 times 10^-7
Calculando cada termo:
(1,0102 - 1,0101)^2 = (0,0001)^2 = 1,0 times 10^-8
(1,0105 - 1,0101)^2 = (0,0004)^2 = 1,6 times 10^-7
(1,0100 - 1,0101)^2 = (-0,0001)^2 = 1,0 times 10^-8
(1,0101 - 1,0101)^2 = 0^2 = 0
1,6e-7 + 1,0e-8 + 1,6e-7 + 1,0e-8 + 0 = 3,2e-7 + 2,0e-8 = 3,4e-7
Somando todos:
sigmax = raiz3,4 times 10^-74 = raiz0,85 times 10^-7 approx 0,002915 times 10^-3 , m = 0,0002915 , m
Arredondando,

Passo 7

Agora que temos as médias e os desvios padrão, podemos calcular o valor mais provável e o erro experimental para bary = 0,80194 , m com sigmay approx 0,0045 , m e barx = 1,0101 , m com sigmax approx 0,00029 , m .
Valores Obtidos:

Passo 8

a) Valor mais provável e erro experimental
O valor mais provável é a média das medidas, que já calculamos:
Valor mais provável de y = 0,80194 , m á
Valor mais provável de x = 1,0101 , m á
O erro experimental é representado pelo desvio padrão:
Erro experimental de y = pm 0,0045 , m
Erro experimental de x = pm 0,00029 , m

Passo 9

b) Cálculo da aceleração da gravidade y = g x^22 v^2 Rightarrow g = 2 y v^2x^2 a partir dos dados experimentais
Vamos reorganizar a fórmula dada para resolver g = 2 times 0,80194 , m times (2,524 , m/s)^2(1,0101 , m)^2 :
v^2 = (2,524)^2 approx 6,371 , m^2/s^2
Vamos usar os valores médios de x^2 = (1,0101)^2 approx 1,0204 , m^2 e g = 2 times 0,80194 times 6,3711,0204 approx 2 times 0,80194 times 6,3711,0204 approx 10,2251,0204 approx 10,027 , m/s^2 , e a velocidade .
Calculando:
Primeiro, calculamos e :
Agora, substituímos na fórmula:

Passo 10

Comparação com o valor dado:
O valor calculado da aceleração da gravidade local é:
gexperimental approx 10,027 , m/s^2
O valor fornecido no problema é:
gdado = 9,7915 , m/s^2
Diferença:
De
Portanto, o valor experimental de é um pouco maior que o valor dado, apresentando uma diferença de aproximadamente .

Resposta

a) O valor mais provável de é com um erro experimental de , e o valor mais provável de é com um erro experimental de .
b) A aceleração da gravidade calculada a partir dos dados experimentais é aproximadamente , que difere do valor fornecido de por cerca de .

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