Em um experimento para a determinação do momento de inércia de uma vareta em tomo de um diâmetro central, mediu-se o diâmetro D , o comprimento L e a massa M da vareta. Os valores medidos de D, L e M estão dispostos na tabela:
|
195,33 | 195,36 | 196,20 | 196,10 | 195,59 |
|
---|---|---|---|---|---|---|
|
0,655 | 0,650 | 0,647 | 0,660 | 0,655 | 0,648 |
|
35,62 | 35,70 | 35,66 | 35,64 | 35,59 | 36,10 |
Sabendo-se que a expressão que relaciona o momento de inércia com as grandezas medidas é:
a) Determine os valores médios de M, D e L com os seus respectivos erros experimentais.
b) Calcule o momento de inércia da vareta e o respectivo erro propagado.
b) Calcule o momento de inércia da vareta e o respectivo erro propagado.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício de física onde precisamos determinar o momento de inércia de uma vareta. A matéria envolvida aqui é a de momentums de inércia e análise de erros experimentais. Para resolver, a gente vai precisar calcular as médias das medidas de massa (M), diâmetro (D) e comprimento (L), encontrar os erros experimentais dessas médias e, depois, usar a fórmula do momento de inércia para calcular o valor final e o erro propagado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média das medidas de massa (M). Olhando os valores:
195,33 g; 195,36 g; 196,20 g; 196,10 g; 195,59 g; 195,88 g.
A média (M̄) é a soma desses valores dividida pelo número de medições.
Passo 3
Fazendo as contas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro experimental na massa. Geralmente, usamos o desvio padrão como uma estimativa do erro.
Primeiro, calculamos cada diferença em relação à média, elevamos ao quadrado, somamos tudo, dividimos pelo número de medidas menos um e, finalmente, tiramos a raiz quadrada.
Passo 5
Vamos simplificar aqui para deixar mais claro. O desvio padrão (σ) para M seria:
Depois de calcular, encontramos o erro experimental para M.
Passo 6
Feito isso, repetimos o mesmo processo para o diâmetro (D) e o comprimento (L). Calculamos as médias (D̄ e L̄) e os respectivos erros experimentais (σ_D e σ_L) usando as mesmas fórmulas de média e desvio padrão.
Passo 7
Agora que temos as médias e os erros experimentais de M, D e L, estamos prontos para a segunda parte do exercício: calcular o momento de inércia (I) usando a fórmula dada:
Passo 8
Para calcular o erro propagado no momento de inércia, vamos usar a regra de propagação de erros para funções de várias variáveis. Basicamente, precisamos considerar como os erros em M, D e L afetam o erro em I.
Passo 9
Aplicando a regra, calculamos as derivadas parciais de I em relação a M, D e L, multiplicamos pelos erros correspondentes e somamos quadrados para obter o erro total em I.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, os valores médios e os erros experimentais são:
- Massa média,
, com erro experimental calculado. - Diâmetro médio,
, com erro experimental calculado. - Comprimento médio,
, com erro experimental calculado.
O momento de inércia da vareta é aproximadamente
, com erro propagado
.