Em um experimento cujo objetivo é estudar o efeito simétrico de paredes sobre partículas esféricas, glicerol (
) escoa de baixo para cima em um tubo de vidro, reto e vertical, com 2 in de diâmetro interno e vazão volumétrica
. Em um dado instante, duas esferas (
) de mesmo material
) são fotografadas movendose no interior do tubo, para cima e sobre o eixo de simetria do tubo. Pergunta-se: Se na foto a esfera menor estiver
abaixo da maior, em quanto tempo ela irá alcançar a maior? (Despreze o efeito de população.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um tubo vertical de vidro com glicerol fluindo de baixo para cima. Dentro desse tubo, duas esferas de materiais iguais, mas de diâmetros diferentes, estão se movendo para cima. A esfera menor está 5 metros abaixo da maior na foto. Queremos descobrir quanto tempo a esfera menor vai levar para alcançar a maior. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica de fluidos, especificamente sobre escoamento viscoso e força de arrasto em partículas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
- Diâmetro interno do tubo: 2 polegadas = 0,0508 metros
- Vazão volumétrica,
- Densidade do glicerol,
- Viscosidade do glicerol,
- Diâmetros das esferas:
-
- Densidade das esferas,
- Distância entre as esferas na foto,
Passo 3
Vamos calcular a velocidade do fluxo do glicerol no tubo. A vazão volumétrica está relacionada com a área da seção transversal do tubo e a velocidade média do fluxo (
) pela fórmula:
Onde a área
de um tubo circular é:
Calculando a área:
Agora, calculamos a velocidade do fluxo:
Passo 4
As esferas se movem com velocidades diferentes devido à interação com o fluido viscoso. Podemos modelar a velocidade de terminal das esferas usando a Lei de Stokes, que é válida para escoamentos laminares e partículas pequenas:
Onde:
-
= velocidade de terminal -
= densidade da esfera -
= densidade do fluido -
= aceleração da gravidade ( ) -
= raio da esfera -
= viscosidade do fluido
Vamos calcular para cada esfera:
Para a esfera menor (
):
Para a esfera maior (
):
Passo 5
Agora, precisamos considerar a velocidade real de cada esfera dentro do fluxo do glicerol. A velocidade total de cada esfera será a soma da velocidade do fluxo
e a velocidade de terminal
:
Calculando para cada esfera:
Esfera menor:
Esfera maior:
Passo 6
A esfera maior está à frente, e a menor está tentando alcançá-la. A diferença de velocidades é:
Como a diferença é negativa, isso indica que a esfera maior está se movendo ligeiramente mais rápido que a menor, o que significa que a esfera menor nunca alcançará a maior. Portanto, não há tempo para o encontro.
Resposta
A esfera menor nunca alcançará a esfera maior, pois ela está se movendo ligeiramente mais devagar.