Uma mistura de hematita ( rhoh=5 g / cm^3 e phih=0,6 ) e sílica ( rhos=2,7 g / cm 3 e phis=0,6 ), com diâmetros entre 30 e 200 mu m será separada em um elutriador de 50 cm de diâmetro, com água a 20^circ C. Determine:
Qual é o percentual de hematita pura obtida, em relação à hematita que entra, se a distribuição cumulativa em base mássica Fm é
Fm(D)=1-exp (-[D-30100]^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a separação de uma mistura de hematita e sílica usando um elutriador. A matéria envolve conceitos de densidade, frações volumétricas e distribuição de tamanho de partículas. Vamos precisar entender como a distribuição de partículas afeta a separação no elutriador e calcular o percentual de hematita pura obtida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Hematita:
    • Densidade ( rhoh): 5 g/cm³
    • Fração volumétrica ( phih): 0,6
  • Sílica:
    • Densidade ( rhos): 2,7 g/cm³
    • Fração volumétrica ( phis): 0,6
A mistura tem partículas com diâmetros entre 30 e 200 micrômetros e será separada em um elutriador de 50 cm de diâmetro com água a 20°C. A distribuição cumulativa em base mássica é dada por:
Fm(D) = 1 - exp(-[D - 30100]^2)

Passo 3

Vamos interpretar a função de distribuição mássica Fm(D). Ela nos dá a fração acumulada de massa das partículas com diâmetro até D. Isso significa que Fm(D) representa a porcentagem da massa total que possui diâmetros menores ou iguais a D.

Passo 4

Para encontrar o percentual de hematita pura obtida, precisamos determinar a fração da massa de hematita que passa pelo elutriador sem ser carregada pela água. Isso depende do diâmetro das partículas de hematita que conseguem permanecer no elutriador.

Passo 5

Assumindo que o elutriador separa as partículas com base no diâmetro crítico, vamos encontrar o diâmetro crítico Dc onde as forças de arraste da água equilibram as forças gravitacionais nas partículas de hematita. No entanto, o enunciado não fornece informações suficientes para calcular Dc diretamente, então vamos considerar que o elutriador separa as partículas em um determinado diâmetro.

Passo 6

Vamos simplificar e supor que o diâmetro crítico para a separação é aquele onde a distribuição cumulativa Fm(D) é igual a 0,5 (50%). Isso significa que metade da massa das partículas tem diâmetro menor que Dc e a outra metade maior.
Vamos resolver Fm(Dc) = 0,5:
1 - exp(-[Dc - 30100]^2) = 0,5

Passo 7

Isolando a exponencial:
exp(-[Dc - 30100]^2) = 1 - 0,5 = 0,5
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
-[Dc - 30100]^2 = ln(0,5)
[Dc - 30100]^2 = -ln(0,5)
Sabemos que ln(0,5) approx -0,6931, então:
[Dc - 30100]^2 = 0,6931

Passo 8

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Dc - 30100 = raiz0,6931 approx 0,832
Multiplicando ambos os lados por 100:
Dc - 30 = 83,2
Dc = 30 + 83,2 = 113,2 , mum

Passo 9

Agora que temos o diâmetro crítico Dc = 113,2 , mum, vamos usar a distribuição Fm(D) para determinar a fração de hematita que passa pelo elutriador.
Como o elutriador separa partículas com diâmetro até Dc, a fração de hematita pura obtida será a fração de massa das partículas com diâmetro menor ou igual a Dc.
Substituindo Dc na função Fm(D):
Fm(113,2) = 1 - exp(-[113,2 - 30100]^2)
Fm(113,2) = 1 - exp(-[83,2100]^2)
Fm(113,2) = 1 - exp(-0,832^2)
Fm(113,2) = 1 - exp(-0,692) approx 1 - 0,500 = 0,5
Portanto, 50% da massa de hematita passa pelo elutriador como pura.

Resposta

O percentual de hematita pura obtida, em relação à hematita que entra, é de 50%.

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