Em um experimento de movimento uniformemente variado, um carrinho de massa m1=110 g parte do repouso puxado por um fio de massa desprezível que passa por uma polia (sem atrito). No fio há um bloco pendurado de massa m2=150 g, fazendo o carrinho se deslocar. Deste experimento conseguiu-se coletar os dados mostrados na tabela abaixo para o espaço percorrido e o tempo com os respectivos erros calculados após uma série de medições:
x(cm) sigmax(cm) t(s) sigmat(s) t^2(s^2) sigmat^2(s^2)
0 0 0 0 0 0
12 1 0,61 0,03
25 2 1,02 0,02
54 2 1,50 0,04
(a) (3 pontos) Preencha a tabela acima com os valores de t^2 e seus respectivos erros.
(b) (4 pontos) Utilizando os dados da tabela, trace um gráfico no papel milimetrado abaixo que permita estimar graficamente a aceleração do carrinho.
© (3 pontos) Se a aceleração do carrinho determinada foi a=6,3 pm 0,7 m / s^2, determine a aceleração da gravidade e seu erro. Despreze as incertezas nas massas m1 e m2.
a) Utilizando propagação de erros temos que o erro de t^2 é dado por:
sigmat^2=raiz(2 t)^2 sigmat^2=2 t sigmat
Usando o resultado acima, temos a seguinte tabela:
x(cm) sigmax(cm) t(s) sigmat(s) t^2(s^2) sigmat^2(s^2)
0 0 0 0 0 0
12 1 0,61 0,03 0,37 0,04
25 2 1,02 0,02 1,04 0,04
54 2 1,50 0,04 2,2 0,1
b) Gráfico de x vs t^2.
c) Aplicando a segunda Lei de Newton para o carrinho e a massa m2, temos:
T=m1 a e m2 g-T=m2 a
Resolvendo as equações acima para g, obtém-se:
g=m2+m1m2 a
Desprezando as incertezas nas massas e utilizando propagação de erros, o erro de g é dado por:
sigmag=m2+m1m2 sigmaa
Então:
g=(11 pm 1) m / s^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um experimento de movimento uniformemente variado envolvendo um carrinho e um bloco suspenso. A gente tem duas massas: o carrinho com m1=110, g e o bloco com m2=150, g. A ideia é usar esses dados para preencher uma tabela, fazer um gráfico e, por fim, determinar a aceleração da gravidade com base na aceleração do carrinho. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de movimento uniformemente variado, propagação de erros e a segunda Lei de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos completar a tabela com os valores de t^2 e seus respectivos erros sigmat^2. A propagação de erros para t^2 é dada por:
sigmat^2 = 2t cdot sigmat
Vamos calcular isso para cada linha da tabela onde temos valores de t e sigmat.

Passo 3

Vamos calcular t^2 e sigmat^2 para cada medição:
  1. Para t = 0,61, s:
    t^2 = (0,61)^2 = 0,3721, s^2 approx 0,37, s^2
    sigmat^2 = 2 times 0,61 times 0,03 = 0,0366, s^2 approx 0,04, s^2
  2. Para t = 1,02, s:
    t^2 = (1,02)^2 = 1,0404, s^2 approx 1,04, s^2
    sigmat^2 = 2 times 1,02 times 0,02 = 0,0408, s^2 approx 0,04, s^2
  3. Para t = 1,50, s:
    t^2 = (1,50)^2 = 2,25, s^2 approx 2,25, s^2
    sigmat^2 = 2 times 1,50 times 0,04 = 0,12, s^2 approx 0,12, s^2

Passo 4

Agora, vamos preencher a tabela com esses valores calculados:
x(cm) sigmax(cm) t(s) sigmat(s) t^2(s^2) sigmat^2(s^2)
0 0 0 0 0 0
12 1 0,61 0,03 0,37 0,04
25 2 1,02 0,02 1,04 0,04
54 2 1,50 0,04 2,25 0,12

Passo 5

Parte (a) resolvida! Agora vamos para a parte (b), que pede para traçarmos um gráfico de x versus t^2. Esse gráfico nos ajudará a determinar a aceleração do carrinho de forma gráfica.

Passo 6

Parte (b): Traçando o Gráfico
Para traçar o gráfico de x versus t^2, vamos plotar os valores de x no eixo vertical (y) e t^2 no eixo horizontal (x). Cada par (t^2, x) representa um ponto no gráfico:
  • Ponto 1: (0, 0)
  • Ponto 2: (0,37, 12)
  • Ponto 3: (1,04, 25)
  • Ponto 4: (2,25, 54)
Depois de plotar esses pontos no papel milimetrado, traçamos uma linha de melhor ajuste passando pelos pontos. A inclinação dessa linha estará relacionada à aceleração do carrinho.

Passo 7

A inclinação da reta no gráfico x vs t^2 para movimento uniformemente variado é dada por:
x = 12 a t^2
Então, a inclinação k da reta é:
k = 12 a Rightarrow a = 2k
Medindo a inclinação k a partir do gráfico, multiplicamos por 2 para obter a aceleração a.

Passo 8

Parte ©: Determinando a Aceleração da Gravidade
Sabemos que a aceleração do carrinho foi determinada como a = 6,3 pm 0,7, m/s^2. Vamos usar a segunda Lei de Newton para relacionar essa aceleração com a gravidade.
As equações envolvidas são:
T = m1 a m2 g - T = m2 a
Substituindo T da primeira equação na segunda:
m2 g - m1 a = m2 a m2 g = (m1 + m2) a g = (m1 + m2)m2 a
Agora, vamos calcular g e seu erro sigmag.

Passo 9

Calculando g:
Primeiro, convertendo as massas para kg:
m1 = 110, g = 0,110, kg m2 = 150, g = 0,150, kg
Agora, substituindo na fórmula:
g = 0,110 + 0,1500,150 times 6,3 = 0,2600,150 times 6,3 approx 1,733 times 6,3 approx 10,9179, m/s^2 approx 11,0, m/s^2
Calculando o erro sigmag:
Usando propagação de erros:
sigmag = m1 + m2m2 sigmaa
Substituindo os valores:
sigmag = 0,2600,150 times 0,7 approx 1,733 times 0,7 approx 1,213, m/s^2 approx 1,2, m/s^2

Resposta

Portanto, a aceleração da gravidade foi determinada como:
g = (11,0 pm 1,2), m/s^2

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