Explicite o conjunto quociente determinado pela relação de equivalência em
dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto
e uma relação de equivalência
que contém os pares
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar o conjunto quociente
, que basicamente é o conjunto de todas as classes de equivalência formadas por essa relação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como formar essas classes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Ela precisa ser reflexiva, simétrica e transitiva. No nosso caso:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Vemos que
, e estão em , então está ok. - Simétrica: Se
está em , então também está. Vemos e , então está perfeito. - Transitiva: Se
e estão em , então também deve estar. No nosso caso, não há mais relações para verificar, então a transitividade está garantida.
Então,
é uma rela��ão de equivalência.
Passo 3
Agora, vamos formar as classes de equivalência. Uma classe de equivalência para um elemento
em
é o conjunto de todos os elementos que estão relacionados a
por
.
- Classe de
: Inclui todos os elementos relacionados a . Vemos que está relacionado com e . Então, a classe de é . - Classe de
: Como está relacionado com e , e já incluímos isso na classe de , não precisamos criar uma nova classe. - Classe de
: só está relacionado consigo mesmo, então a classe de é . - Classe de
: Similarmente, só está relacionado consigo mesmo, então a classe de é .
Passo 4
Finalmente, o conjunto quociente
é o conjunto de todas essas classes de equivalência que encontramos. Portanto, juntando tudo: