Explicite o conjunto quociente determinado pela relação de equivalência em A = {a, b, c, d} dada por
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a)}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto e uma relação de equivalência que contém os pares e . Nosso objetivo aqui é encontrar o conjunto quociente , que basicamente é o conjunto de todas as classes de equivalência formadas por essa relação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como formar essas classes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Ela precisa ser reflexiva, simétrica e transitiva. No nosso caso:
  • Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Vemos que , e estão em , então está ok.
  • Simétrica: Se está em , então também está. Vemos e , então está perfeito.
  • Transitiva: Se e estão em , então também deve estar. No nosso caso, não há mais relações para verificar, então a transitividade está garantida.
Então, é uma rela��ão de equivalência.

Passo 3

Agora, vamos formar as classes de equivalência. Uma classe de equivalência para um elemento em é o conjunto de todos os elementos que estão relacionados a por .
  • Classe de : Inclui todos os elementos relacionados a . Vemos que está relacionado com e . Então, a classe de é .
  • Classe de : Como está relacionado com e , e já incluímos isso na classe de , não precisamos criar uma nova classe.
  • Classe de : só está relacionado consigo mesmo, então a classe de é .
  • Classe de : Similarmente, só está relacionado consigo mesmo, então a classe de é .

Passo 4

Finalmente, o conjunto quociente é o conjunto de todas essas classes de equivalência que encontramos. Portanto, juntando tudo:

Resposta

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