Explicite o conjunto quociente determinado pela relação de equivalência em dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto e uma relação de equivalência que contém os pares e . Nosso objetivo aqui é encontrar o conjunto quociente , que basicamente é o conjunto de todas as classes de equivalência formadas por essa relação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como formar essas classes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Ela precisa ser reflexiva, simétrica e transitiva. No nosso caso:
Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo. Vemos que , e estão em , então está ok.
Simétrica: Se está em , então também está. Vemos e , então está perfeito.
Transitiva: Se e estão em , então também deve estar. No nosso caso, não há mais relações para verificar, então a transitividade está garantida.
Então, é uma rela��ão de equivalência.
Passo 3
Agora, vamos formar as classes de equivalência. Uma classe de equivalência para um elemento em é o conjunto de todos os elementos que estão relacionados a por .
Classe de : Inclui todos os elementos relacionados a . Vemos que está relacionado com e . Então, a classe de é .
Classe de : Como está relacionado com e , e já incluímos isso na classe de , não precisamos criar uma nova classe.
Classe de : só está relacionado consigo mesmo, então a classe de é .
Classe de : Similarmente, só está relacionado consigo mesmo, então a classe de é .
Passo 4
Finalmente, o conjunto quociente é o conjunto de todas essas classes de equivalência que encontramos. Portanto, juntando tudo: