Seja a relação definida por , se e somente se nasceu no mesmo estado ou território do Brasil que , e considere o conjunto de todas as pessoas nascidas no Brasil.
a) Mostre que esta é uma relação de equivalência em .
b) Quantas classes de equivalência são determinadas pela relação ?
c) Qual é a classe de equivalência determinada por você?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma relação definida no conjunto , que é todo mundo que nasceu no Brasil. A relação diz que se e somente se e nasceram no mesmo estado ou território do Brasil.
Vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como classes de equivalência funcionam para resolver as partes (a), (b) e © da questão.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é uma relação de equivalência em . Para isso, precisamos verificar três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.
Reflexiva: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, qualquer pessoa nasceu no mesmo estado que ela mesma, então . Portanto, é reflexiva.
Simétrica: Uma relação é simétrica se, sempre que está relacionado com , então também está relacionado com . Aqui, se nasceu no mesmo estado que , então também nasceu no mesmo estado que . Logo, é simétrica.
Transitiva: Uma relação é transitiva se, sempre que está relacionado com e está relacionado com , então está relacionado com . No nosso caso, se e nasceram no mesmo estado, e e também nasceram no mesmo estado, então e nasceram no mesmo estado. Assim, é transitiva.
Como satisfaz as três propriedades, ela é uma relação de equivalência em .

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): quantas classes de equivalência são determinadas pela relação ?
Bem, uma classe de equivalência é um conjunto de elementos que estão todos relacionados entre si. No nosso caso, cada classe de equivalência corresponde a uma pessoa que nasceu em um determinado estado ou território do Brasil.
O Brasil é dividido em 26 estados e 1 Distrito Federal, totalizando 27 unidades federativas. Portanto, cada estado ou território vai formar uma classe de equivalência distinta.

Passo 4

Por fim, na parte ©, devemos identificar uma classe de equivalência determinada por nós. Vamos escolher, por exemplo, o estado de São Paulo.
A classe de equivalência correspondente a São Paulo é o conjunto de todas as pessoas que nasceram nesse estado. Em notação matemática, podemos representar assim:
ãã

Resposta

a) A relação é uma relação de equivalência em porque é reflexiva, simétrica e transitiva.
b) A relação determina 27 classes de equivalência, correspondentes aos 26 estados e ao Distrito Federal do Brasil.
c) Uma classe de equivalência é o conjunto de todas as pessoas que nasceram em um estado específico, por exemplo:
ãã

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