Seja
a relação definida por
, se e somente se
nasceu no mesmo estado ou território do Brasil que
, e considere
o conjunto de todas as pessoas nascidas no Brasil.
a) Mostre que esta é uma relação de equivalência em
.
b) Quantas classes de equivalência são determinadas pela relação
?
c) Qual é a classe de equivalência determinada por você?
a) Mostre que esta é uma relação de equivalência em
b) Quantas classes de equivalência são determinadas pela relação
c) Qual é a classe de equivalência determinada por você?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma relação
definida no conjunto
, que é todo mundo que nasceu no Brasil. A relação diz que
se e somente se
e
nasceram no mesmo estado ou território do Brasil.
Vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência e como classes de equivalência funcionam para resolver as partes (a), (b) e © da questão.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é uma relação de equivalência em
. Para isso, precisamos verificar três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva.
Reflexiva: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, qualquer pessoa
nasceu no mesmo estado que ela mesma, então
. Portanto,
é reflexiva.
Simétrica: Uma relação é simétrica se, sempre que
está relacionado com
, então
também está relacionado com
. Aqui, se
nasceu no mesmo estado que
, então
também nasceu no mesmo estado que
. Logo,
é simétrica.
Transitiva: Uma relação é transitiva se, sempre que
está relacionado com
e
está relacionado com
, então
está relacionado com
. No nosso caso, se
e
nasceram no mesmo estado, e
e
também nasceram no mesmo estado, então
e
nasceram no mesmo estado. Assim,
é transitiva.
Como
satisfaz as três propriedades, ela é uma relação de equivalência em
.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): quantas classes de equivalência são determinadas pela relação
?
Bem, uma classe de equivalência é um conjunto de elementos que estão todos relacionados entre si. No nosso caso, cada classe de equivalência corresponde a uma pessoa que nasceu em um determinado estado ou território do Brasil.
O Brasil é dividido em 26 estados e 1 Distrito Federal, totalizando 27 unidades federativas. Portanto, cada estado ou território vai formar uma classe de equivalência distinta.
Passo 4
Por fim, na parte ©, devemos identificar uma classe de equivalência determinada por nós. Vamos escolher, por exemplo, o estado de São Paulo.
A classe de equivalência correspondente a São Paulo é o conjunto de todas as pessoas que nasceram nesse estado. Em notação matemática, podemos representar assim:
Resposta
a) A relação
é uma relação de equivalência em
porque é reflexiva, simétrica e transitiva.
b) A relação
determina 27 classes de equivalência, correspondentes aos 26 estados e ao Distrito Federal do Brasil.
c) Uma classe de equivalência é o conjunto de todas as pessoas que nasceram em um estado específico, por exemplo:
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