Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a união da curva com o segmento de reta . Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e o segmento , além de aplicar técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte da curva . A parametrização dessa curva é dada por:
Isso significa que as coordenadas e em função de são:
Passo 3
Agora, para calcular a integral ao longo de , precisamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas vão nos ajudar a expressar e em termos de .
Passo 4
Substituindo , , e na integral, temos:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Denominador:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Essa simplificação nos leva a uma integral bem conhecida:
Aplicando os limites de integração:
Então, a integral ao longo de resulta em .
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral ao longo do segmento de reta , onde e . Como é constante igual a 2, apenas varia de 0 a -1.
Parametrizando o segmento com , onde varia de 0 a 1:
Substituindo na integral:
Passo 8
Para resolver essa integral, usamos a substituição , então ou . A integral fica:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
Finalmente, somando as integrais ao longo de e , temos: