Seja C=C1 cup A B, onde A=(0,2), B=(-1,2), e
C1: r(t)=(-t sin tpi, t cos tpi), t in[pi2, 2 pi]
Calcule
integralC x d x+y d yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a união da curva com o segmento de reta . Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e o segmento , além de aplicar técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte da curva r(t) = (-t sin tpi, t cos tpi), t in [pi2, 2pi] . A parametrização dessa curva é dada por:
x(t) = -t sin tpi, y(t) = t cos tpi
Isso significa que as coordenadas e em função de são:

Passo 3

Agora, para calcular a integral ao longo de dxdt = -sin t + t cos tpi, dydt = cos t - t sin tpi , precisamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas vão nos ajudar a expressar e em termos de .

Passo 4

Substituindo integralC1 x , dx + y , dyx^2 + y^2 = integralpi2^2pi x(t) cdot dxdt + y(t) cdot dydtx(t)^2 + y(t)^2 , dt , , e na integral, temos:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
x(t) cdot dxdt + y(t) cdot dydt = tpi^2
Denominador:
x(t)^2 + y(t)^2 = t^2pi^2
Assim, a integral fica:
integralpi2^2pi tpi^2t^2pi^2 , dt = integralpi2^2pi 1t , dt

Passo 6

Essa simplificação nos leva a uma integral bem conhecida:
integral 1t , dt = ln |t| + C
Aplicando os limites de integração:
ln t gr|pi2^2pi = ln(2pi) - ln(pi2) = ln 4
Então, a integral ao longo de resulta em .

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral ao longo do segmento de reta dx = -ds, dy = 0 , onde integralAB x , dx + y , dyx^2 + y^2 = integral0^1 (-s)(-ds)s^2 + 4 = integral0^1 ss^2 + 4 , ds e . Como é constante igual a 2, apenas varia de 0 a -1.
Parametrizando o segmento com , onde varia de 0 a 1:
Substituindo na integral:

Passo 8

Para resolver essa integral, usamos a substituição integral ss^2 + 4 , ds = 12 ln |s^2 + 4| + C , então 12 ln(1^2 + 4) - 12 ln(0^2 + 4) = 12 ln 5 - 12 ln 4 = 12 ln(54) ou . A integral fica:
Aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

Finalmente, somando as integrais ao longo de ln 4 + 12 ln ( 54 ) e , temos:

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