Explique qual a característica de uma reta que é ortogonal a outras duas retas e determine as equações da reta r que passa pelo ponto A(-2,1,3) e é ortogonal comum às retas:
r1:cx=2-t y=1+2 t z=-3 t e r2: x-1-3=z ; y=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre retas ortogonais. A questão pede para a gente descobrir uma reta que passa pelo ponto e que é ortogonal tanto à reta quanto à reta . Para isso, vamos precisar entender o que significa que duas retas são ortogonais e como encontrar a equação de uma reta no espaço usando vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que duas retas são ortogonais se seus vetores diretores forem perpendiculares. Ou seja, o produto escalar dos vetores diretores é zero. Vamos identificar os vetores diretores das retas r1: x = 2 - t y = 1 + 2t z = -3t e r2: x-1-3 = z; y = 2 .
Para a reta x = 1 - 3s y = 2 z = s :
O vetor diretor de é .
Para a reta :
Podemos reescrever parametricamente com parâmetro :
Então, o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar o vetor diretor v = v1 times v2 da reta que é ortogonal a ambas e . Isso significa que deve ser perpendicular a e a .
Para achar um vetor perpendicular a ambos, podemos usar o produto vetorial entre e :

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial:
v = i & j & k -1 & 2 & -3 -3 & 0 & 1 = i(2 cdot 1 - (-3) cdot 0) - j((-1) cdot 1 - (-3) cdot (-3)) + k((-1) cdot 0 - 2 cdot (-3))
v = i(2) - j(-1 - 9) + k(0 + 6)
v = (2, 10, 6)
Podemos simplificar v = (1, 5, 3) dividindo por 2:

Passo 5

Com o vetor diretor r: x = -2 + t y = 1 + 5t z = 3 + 3t e o ponto , podemos montar a equação paramétrica da reta :
Onde é o parâmetro.

Resposta

A reta r: x = -2 + t y = 1 + 5t z = 3 + 3t que passa pelo ponto e é ortogonal às retas e tem a equação paramétrica:

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