Explique, escrevendo e desenhando, a um colega hipotético que está cursando Funções de uma Variável, o conceito de derivada de uma função num ponto . Aplique a definição de derivada para calcular . Qual é a interpretação geométrica da derivada? Relacione derivadas e taxas de variação. Explique também por que a derivada de uma função derivável é, ela própria, uma função.

Passo 1

Vamos lá! Hoje vamos falar sobre o conceito de derivada de uma função em um ponto . Isso faz parte da matéria de Funções de uma Variável. Para entender e resolver isso, vamos precisar da definição de derivada e de como aplicá-la para calcular a derivada de .

Passo 2

Primeiro, o que é derivada? Imagine que é uma função que descreve alguma quantidade que depende de . A derivada de em , escrita como ou , nos dá a taxa de variação de em relação a no ponto . Basicamente, ela nos mostra quão rápido está mudando naquele ponto.

Passo 3

Definição de derivada: A derivada de em é o limite da razão entre a variação de e a variação de quando essa variação tende a zero. Em termos matemáticos:
Isso significa que estamos calculando a inclinação da reta tangente à curva de no ponto .

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa definição para calcular a derivada de .
Seja . Queremos achar .
Usando a definição:
Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 5

Interpretação geométrica da derivada: A derivada representa a inclinação da reta tangente à curva no ponto . Geometricamente, se você imaginar a curva de , a reta tangente é a linha que “toca” a curva exatamente naquele ponto e segue a mesma inclinação da curva naquele instante.

Passo 6

Derivadas e taxas de variação: A derivada não apenas nos dá a inclinação da reta tangente, mas também interpreta-se como a taxa de variação de em relação a . Por exemplo, se representa a posição de um objeto ao longo do tempo, seria a velocidade do objeto, indicando quão rápido a posição está mudando no tempo.

Passo 7

Por que a derivada de uma função derivável é, ela própria, uma função? Porque para cada valor de onde é derivável, há um valor correspondente de . Assim, atribui a cada uma inclinação específica, formando uma nova função que nos descreve como a inclinação da original varia com .

Resposta

A derivada de uma função em um ponto representa a taxa de variação de em relação a naquele ponto, sendo calculada pela definição de limite da razão de variações. Aplicando isso, a derivada de é . Geometricamente, a derivada corresponde à inclinação da reta tangente à curva no ponto considerado. Além disso, derivadas expressam taxas de variação e, como resultado, a derivada de uma função derivável é uma função que descreve como a inclinação da original varia com .

Exercícios relacionados

Explique, escrevendo e desenhando, a um colega hipotético que está cursando Bases Matemáticas, o conceito de limite. Use como exemplo , onde . Em particular, conte ao tal colega se o ponto 2 pertence ou não ao domínio da função. É importante que esse ponto esteja no domínio? Qual o valor do limite? Qual o significado disso?
Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
(a) e .
Explique ao tal colega de FUV o conceito de integral definida. Escreva e desenhe. Use os exemplos e , com .
O que é uma integral indefinida? Dê exemplos.