Explique, escrevendo e desenhando, a um colega hipotético que está cursando Funções de uma Variável, o conceito de derivada de uma função
num ponto
. Aplique a definição de derivada para calcular
. Qual é a interpretação geométrica da derivada? Relacione derivadas e taxas de variação. Explique também por que a derivada de uma função derivável é, ela própria, uma função.
Passo 1
Vamos lá! Hoje vamos falar sobre o conceito de derivada de uma função
em um ponto
. Isso faz parte da matéria de Funções de uma Variável. Para entender e resolver isso, vamos precisar da definição de derivada e de como aplicá-la para calcular a derivada de
.
Passo 2
Primeiro, o que é derivada? Imagine que
é uma função que descreve alguma quantidade que depende de
. A derivada de
em
, escrita como
ou
, nos dá a taxa de variação de
em relação a
no ponto
. Basicamente, ela nos mostra quão rápido
está mudando naquele ponto.
Passo 3
Definição de derivada: A derivada de
em
é o limite da razão entre a variação de
e a variação de
quando essa variação tende a zero. Em termos matemáticos:
Isso significa que estamos calculando a inclinação da reta tangente à curva de
no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa definição para calcular a derivada de
.
Seja
. Queremos achar
.
Usando a definição:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 5
Interpretação geométrica da derivada: A derivada
representa a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
. Geometricamente, se você imaginar a curva de
, a reta tangente é a linha que “toca” a curva exatamente naquele ponto e segue a mesma inclinação da curva naquele instante.
Passo 6
Derivadas e taxas de variação: A derivada não apenas nos dá a inclinação da reta tangente, mas também interpreta-se como a taxa de variação de
em relação a
. Por exemplo, se
representa a posição de um objeto ao longo do tempo,
seria a velocidade do objeto, indicando quão rápido a posição está mudando no tempo.
Passo 7
Por que a derivada de uma função derivável é, ela própria, uma função? Porque para cada valor de
onde
é derivável, há um valor correspondente de
. Assim,
atribui a cada
uma inclinação específica, formando uma nova função que nos descreve como a inclinação da original
varia com
.
Resposta
A derivada de uma função
em um ponto
representa a taxa de variação de
em relação a
naquele ponto, sendo calculada pela definição de limite da razão de variações. Aplicando isso, a derivada de
é
. Geometricamente, a derivada corresponde à inclinação da reta tangente à curva no ponto considerado. Além disso, derivadas expressam taxas de variação e, como resultado, a derivada de uma função derivável é uma função que descreve como a inclinação da original varia com
.
Exercícios relacionados
Explique, escrevendo e desenhando, a um colega hipotético que está cursando Bases Matemáticas, o conceito de limite. Use como exemplo
, onde
. Em particular, conte ao tal colega se o ponto 2 pertence ou não ao domínio da função. É importante que esse ponto esteja no domínio? Qual o valor do limite? Qual o significado disso?
Verifique que os seguintes PVIs admitem as soluções propostas:
(a) e
.
(a)
Explique ao tal colega de FUV o conceito de integral definida. Escreva e desenhe. Use os exemplos
e
, com
.
O que é uma integral indefinida? Dê exemplos.