QUESTÃO 05(2,0pts) - Calcule
integral x^x(ln x+1) d x
Dica: x^x=e^x ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral x^x(ln x+1) , dx
Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente em técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar substituição e propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a dica que foi dada: integral e^x ln x (ln x + 1) , dx . Isso facilita a integração porque transforma em uma função exponencial.
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
u = x ln x
Para achar du = ddx(x ln x) , dx = ln x cdot ddx(x) + x cdot ddx(ln x) , derivamos du = ln x cdot 1 + x cdot 1x = ln x + 1 em relação a du = (ln x + 1) , dx :
Então, temos:

Passo 4

Agora podemos substituir na nossa integral:
integral e^u , du
Essa é uma integral básica de uma função exponencial.

Passo 5

Integrando, temos:
integral e^u , du = e^u + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo e^u + C = e^x ln x + C = x^x + C :

Resposta

A integral é igual a .

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