Explique por que a função é descontínua no número dado
. Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Vamos resolver uma questão que pede para explicar por que uma determinada função é descontínua no número
e também para esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e análise de limites, que nos ajudarão a entender o comportamento da função nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida em
, ou seja, existe. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite da função quando
se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja, .
Se qualquer uma dessas condições não for atendida, a função será descontínua em
.
Passo 3
Vamos analisar a função dada. Suponha que nossa função seja definida da seguinte forma:
Nessa função, para todos os valores de
diferentes de
,
é igual a
. No entanto, em
, o valor da função é definido como 5.
Passo 4
Agora, vamos verificar as três condições de continuidade para a função em
.
-
A função está definida em
?
Sim,. -
O limite da função quando
se aproxima de existe?
Sim, calculamos o limite: -
O limite é igual ao valor da função em
?
Comparando, temos:Para que a função seja contínua, precisaríamos que, ou seja, .
Passo 5
Se
, então
, o que significa que o limite da função quando
se aproxima de
não é igual ao valor da função em
. Portanto, a função é descontínua em
.
Resposta
A função é descontínua no número
porque o limite quando
se aproxima de
é
, que não é igual ao valor da função em
, que é 5, a menos que
. O gráfico da função apresenta um buraco no ponto
, indicando a descontinuidade nesse ponto.
Gráfico

No gráfico, a função é uma linha reta com uma lacuna no ponto
, onde a função tem um valor diferente.