Explique por que a função é descontínua no número dado . Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Vamos resolver uma questão que pede para explicar por que uma determinada função é descontínua no número e também para esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e análise de limites, que nos ajudarão a entender o comportamento da função nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
A função está definida em , ou seja, existe.
O limite da função quando se aproxima de existe.
O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja, .
Se qualquer uma dessas condições não for atendida, a função será descontínua em .
Passo 3
Vamos analisar a função dada. Suponha que nossa função seja definida da seguinte forma:
Nessa função, para todos os valores de diferentes de , é igual a . No entanto, em , o valor da função é definido como 5.
Passo 4
Agora, vamos verificar as três condições de continuidade para a função em .
A função está definida em ?
Sim, .
O limite da função quando se aproxima de existe?
Sim, calculamos o limite:
O limite é igual ao valor da função em ?
Comparando, temos:
Para que a função seja contínua, precisaríamos que , ou seja, .
Passo 5
Se , então , o que significa que o limite da função quando se aproxima de não é igual ao valor da função em . Portanto, a função é descontínua em .
Resposta
A função é descontínua no número porque o limite quando se aproxima de é , que não é igual ao valor da função em , que é 5, a menos que . O gráfico da função apresenta um buraco no ponto , indicando a descontinuidade nesse ponto.
Gráfico
No gráfico, a função é uma linha reta com uma lacuna no ponto , onde a função tem um valor diferente.