Explique por que a função é descontínua no número dado a. Esboce o gráfico da função.

Passo 1

Vamos resolver uma questão que pede para explicar por que uma determinada função é descontínua no número a e também para esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e análise de limites, que nos ajudarão a entender o comportamento da função nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em a se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida em a, ou seja, f(a) existe.
  2. O limite da função quando x se aproxima de a existe.
  3. O limite da função quando x se aproxima de a é igual ao valor da função em a, ou seja, .
Se qualquer uma dessas condições não for atendida, a função será descontínua em a.

Passo 3

Vamos analisar a função dada. Suponha que nossa função seja definida da seguinte forma:
Nessa função, para todos os valores de x diferentes de a, f(x) é igual a . No entanto, em , o valor da função é definido como 5.

Passo 4

Agora, vamos verificar as três condições de continuidade para a função em a.
  1. A função está definida em a?
    Sim, .
  2. O limite da função quando x se aproxima de a existe?
    Sim, calculamos o limite:
  3. O limite é igual ao valor da função em a?
    Comparando, temos:
    Para que a função seja contínua, precisaríamos que , ou seja, .

Passo 5

Se , então , o que significa que o limite da função quando x se aproxima de a não é igual ao valor da função em a. Portanto, a função é descontínua em a.

Resposta

A função é descontínua no número a porque o limite quando x se aproxima de a é , que não é igual ao valor da função em a, que é 5, a menos que . O gráfico da função apresenta um buraco no ponto , indicando a descontinuidade nesse ponto.

Gráfico

Gráfico da Função
No gráfico, a função é uma linha reta com uma lacuna no ponto , onde a função tem um valor diferente.

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