Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está nos passando. A gente tem uma função definida de jeitinho especial, chamada função por partes. Isso significa que o comportamento da função muda dependendo do valor de . Aqui, a função está definida assim:
Pra resolver qualquer exercício com essa função, a gente precisa entender como cada parte dela funciona e em que intervalo cada expressão vale. Vamos destrinchar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar cada parte da função e identificar para que valores de cada expressão se aplica.
  1. Para : A função é . Essa é uma parábola que abre para cima.
  2. Para : A função é . Essa é uma reta decrescente.
  3. Para : A função é . Novamente, uma parábola que abre para cima, mas deslocada.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa cada trecho:
  • Parábola : Quando é negativo ou zero, a função aumenta conforme se afasta de zero, porque sempre dá positivo.
  • Reta : Entre e , a função diminui linearmente. No ponto , ela vale , e no , vale .
  • Parábola : Para maior que 2, a função aumenta novamente conforme se afasta de 2, já que estamos elevando ao quadrado.

Passo 4

Vamos também verificar a continuidade da função nos pontos onde muda de expressão, ou seja, em e . A continuidade é importante pra garantir que o gráfico não quebre nesses pontos.
  • Em :
    • Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ), .
    • Quando se aproxima de 0 pela direita ( ), .
    Aqui, os limites não são iguais, então a função não é contínua em .
  • Em :
    • Quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ), .
    • Quando se aproxima de 2 pela direita ( ), .
    Os limites são iguais, então a função é contínua em .

Passo 5

Por último, vamos esboçar o gráfico de usando as informações que temos:
  1. Para : Uma parábola começando em e abrindo para cima.
  2. Para : Uma reta descendo de até .
  3. Para : Outra parábola começando em e abrindo para cima.
Note que há um salto em , já que a função salta de 1 para 2.

Resposta

A função é definida por três expressões em intervalos diferentes de . Ela não é contínua em devido ao salto no valor da função, mas é contínua em . O gráfico consiste em duas parábolas abertas para cima e uma reta decrescente no meio.

Exercícios relacionados

Explique por que a função é descontínua no número dado . Esboce o gráfico da função.
(a)
Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.