Explique por que a função é descontínua no número
dado. Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa explicar por que ela é descontínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade em uma função e como identificar pontos de descontinuidade. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função para visualizar melhor o que está acontecendo.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o conceito de continuidade. Uma função é contínua em um ponto
se três condições forem atendidas:
- A função está definida em
(ou seja, existe). - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite da função quando
se aproxima de é igual ao valor da função em ( ).
Se alguma dessas condições não for satisfeita, a função é descontínua em
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
no ponto
.
-
Verificar se
está definido:
Substituindona função: Aqui, a divisão por zero não é definida na matemática. Portanto,não existe. -
Verificar o limite de
quando se aproxima de 1:
Vamos calcular: O denominadorsempre é positivo, já que está ao quadrado. Conforme se aproxima de 1, se aproxima de 0, fazendo com que cresça para infinito. Assim: O limite não é um número real finito. -
Comparar o limite com
:
Comonão está definido e o limite é infinito, a terceira condição de continuidade não é satisfeita.
Passo 4
Como vimos, a função
não é definida em
e o limite quando
se aproxima de 1 é
. Portanto, a função não satisfaz as condições para ser contínua em
, o que confirma que ela é descontínua nesse ponto.
Passo 5
Agora, vamos esboçar o gráfico da função
:
-
Identificar pontos de descontinuidade:
Sabemos que ema função não está definida. Isso cria uma “assíntota vertical” nesse ponto. -
Comportamento da função:
- Para
e , o denominador é sempre positivo, então a função será sempre negativa. - Conforme
se aproxima de 1 por qualquer lado, tende a .
- Para
-
Forma geral do gráfico:
- Para
, a curva desce para à medida que se aproxima de . - Para
, a curva também desce para à medida que se aproxima de . - A função nunca cruza a linha vertical
e permanece abaixo do eixo .
- Para
Aqui está um esboço simplificado:
|
-∞ | /
| /
| /
| /
-------|-----+----- x
| /
| /
| /
| /
-∞ |
A linha vertical em
representa a assíntota onde a função se torna descontínua.
Resposta
A função
é descontínua no ponto
porque não está definida nesse ponto e o limite tende a
quando
se aproxima de 1. O gráfico apresenta uma assíntota vertical em
e a função tende negativamente ao infinito de ambos os lados desse ponto.
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