Explique por que a função é descontínua no número dado. Esboce o gráfico da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa explicar por que ela é descontínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade em uma função e como identificar pontos de descontinuidade. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função para visualizar melhor o que está acontecendo.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o conceito de continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem atendidas:
  1. A função está definida em (ou seja, existe).
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em ( ).
Se alguma dessas condições não for satisfeita, a função é descontínua em .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função no ponto .
  1. Verificar se está definido:
    Substituindo na função:
    Aqui, a divisão por zero não é definida na matemática. Portanto, não existe.
  2. Verificar o limite de quando se aproxima de 1:
    Vamos calcular :
    O denominador sempre é positivo, já que está ao quadrado. Conforme se aproxima de 1, se aproxima de 0, fazendo com que cresça para infinito. Assim:
    O limite não é um número real finito.
  3. Comparar o limite com :
    Como não está definido e o limite é infinito, a terceira condição de continuidade não é satisfeita.

Passo 4

Como vimos, a função não é definida em e o limite quando se aproxima de 1 é . Portanto, a função não satisfaz as condições para ser contínua em , o que confirma que ela é descontínua nesse ponto.

Passo 5

Agora, vamos esboçar o gráfico da função :
  1. Identificar pontos de descontinuidade:
    Sabemos que em a função não está definida. Isso cria uma “assíntota vertical” nesse ponto.
  2. Comportamento da função:
    • Para e , o denominador é sempre positivo, então a função será sempre negativa.
    • Conforme se aproxima de 1 por qualquer lado, tende a .
  3. Forma geral do gráfico:
    • Para , a curva desce para à medida que se aproxima de .
    • Para , a curva também desce para à medida que se aproxima de .
    • A função nunca cruza a linha vertical e permanece abaixo do eixo .
Aqui está um esboço simplificado:
       |
   -∞  |        /
       |       /
       |      /
       |     /
-------|-----+----- x
       |    /
       |   /
       |  /
       | /
   -∞  |
A linha vertical em representa a assíntota onde a função se torna descontínua.

Resposta

A função é descontínua no ponto porque não está definida nesse ponto e o limite tende a quando se aproxima de 1. O gráfico apresenta uma assíntota vertical em e a função tende negativamente ao infinito de ambos os lados desse ponto.

Exercícios relacionados

Use a definição de continuidade e as propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua no intervalo dado.
Use a definição de continuidade e as propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número.
Explique por que a função é descontínua no número dado. Esboce o gráfico da função.
Use os teoremas vistos na sala de aula para mostrar que cada função é contínua em seu domínio. Diga qual é o domínio.