Explique por que a função é descontínua no número
dado. Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Beleza! Vamos analisar por que a função
é descontínua no número
. A função que a gente tem aqui é uma função por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de
. Para entender a descontinuidade, vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as expressões da função em cada intervalo:
- Para
, a função é . - Para
, a função é .
Como a função muda de expressão exatamente em
, esse é o ponto onde podemos ter uma descontinuidade. Vamos verificar os limites pela esquerda e pela direita nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
):
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2 pela direita (
):
Passo 5
Além dos limites laterais, vamos ver o valor da função exatamente em
:
Como
está no primeiro caso, temos:
Passo 6
Agora, vamos comparar os limites e o valor da função:
Como os limites laterais são diferentes (
), a função não tem limite único em
. Isso significa que a função não é contínua nesse ponto, ou seja, é descontínua em
.
Passo 7
Por fim, para esboçar o gráfico da função, vamos plotar as duas partes:
- Para
, a reta é uma linha descendente que passa por e . - Para
, a parábola abre para cima e passa pelo ponto .
No ponto
, há um pulo no gráfico: a função salta de
para
.
Resposta
A função
é descontínua em
porque os limites laterais são diferentes (
pela esquerda e
pela direita), e assim não existe um limite único nesse ponto.
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