Explique por que a função é descontínua no número dado. Esboce o gráfico da função.

Passo 1

Beleza! Vamos analisar por que a função é descontínua no número . A função que a gente tem aqui é uma função por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . Para entender a descontinuidade, vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as expressões da função em cada intervalo:
  • Para , a função é .
  • Para , a função é .
Como a função muda de expressão exatamente em , esse é o ponto onde podemos ter uma descontinuidade. Vamos verificar os limites pela esquerda e pela direita nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2 pela direita ( ):

Passo 5

Além dos limites laterais, vamos ver o valor da função exatamente em :
Como está no primeiro caso, temos:

Passo 6

Agora, vamos comparar os limites e o valor da função:
Como os limites laterais são diferentes ( ), a função não tem limite único em . Isso significa que a função não é contínua nesse ponto, ou seja, é descontínua em .

Passo 7

Por fim, para esboçar o gráfico da função, vamos plotar as duas partes:
  • Para , a reta é uma linha descendente que passa por e .
  • Para , a parábola abre para cima e passa pelo ponto .
No ponto , há um pulo no gráfico: a função salta de para .

Resposta

A função é descontínua em porque os limites laterais são diferentes ( pela esquerda e pela direita), e assim não existe um limite único nesse ponto.

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