Use a definição de continuidade e as propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a função
é contínua no intervalo
. Isso envolve entender o que é continuidade e como usar limites pra provar isso. Vamos precisar lembrar da definição de continuidade e algumas propriedades básicas de limites para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Uma função
é contínua em um ponto
se três condições forem verdadeiras:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Agora, como queremos provar que
é contínua em todo o intervalo
, precisamos verificar essas três condições para qualquer ponto
dentro desse intervalo.
Passo 4
Primeiro, vamos ver se
está definida para qualquer
. Olhando a função
, percebemos que o denominador
nunca será zero se
for menor que 3. Então,
está definida para todo
.
Passo 5
Segundo, precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
existe. Como
é uma função racional (razão de dois polinômios) e o denominador não é zero no intervalo
, sabemos que os limites irão existir para todo
.
Passo 6
Terceiro, devemos confirmar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Vamos calcular o limite:
Isso mostra que o limite é realmente igual ao valor da função no ponto
.
Passo 7
Como as três condições de continuidade são satisfeitas para qualquer
no intervalo
, podemos concluir que a função
é contínua nesse intervalo.
Resposta
Portanto, a função
é contínua no intervalo
.
Exercícios relacionados
Use a definição de continuidade e as propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número.
Seja
Esboce o gráfico de
.
Explique por que a função é descontínua no número
dado. Esboce o gráfico da função.
Explique por que a função é descontínua no número
dado. Esboce o gráfico da função.