Use a definição de continuidade e as propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua no intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a função é contínua no intervalo . Isso envolve entender o que é continuidade e como usar limites pra provar isso. Vamos precisar lembrar da definição de continuidade e algumas propriedades básicas de limites para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Agora, como queremos provar que é contínua em todo o intervalo , precisamos verificar essas três condições para qualquer ponto dentro desse intervalo.

Passo 4

Primeiro, vamos ver se está definida para qualquer . Olhando a função , percebemos que o denominador nunca será zero se for menor que 3. Então, está definida para todo .

Passo 5

Segundo, precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de existe. Como é uma função racional (razão de dois polinômios) e o denominador não é zero no intervalo , sabemos que os limites irão existir para todo .

Passo 6

Terceiro, devemos confirmar que o limite de quando se aproxima de é igual a . Vamos calcular o limite:
Isso mostra que o limite é realmente igual ao valor da função no ponto .

Passo 7

Como as três condições de continuidade são satisfeitas para qualquer no intervalo , podemos concluir que a função é contínua nesse intervalo.

Resposta

Portanto, a função é contínua no intervalo .

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Use a definição de continuidade e as propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número.
Seja
Esboce o gráfico de .
Explique por que a função é descontínua no número dado. Esboce o gráfico da função.
Explique por que a função é descontínua no número dado. Esboce o gráfico da função.