Use a definição de continuidade e as propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos mostrar que ela é contínua no ponto . Para isso, vamos usar a definição de continuidade e as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: calcular .
Então, está bem definida.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 3. Como é um polinômio e os polinômios são contínuos em todo lugar, o limite é simplesmente o valor da função em 3.

Passo 5

Comparando os resultados:
Portanto, o limite de quando se aproxima de 3 é igual a .

Resposta

A função é contínua no ponto porque:

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Seja
Esboce o gráfico de .
Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedades dos limites que forem usadas.
Use a definição de continuidade e as propriedades de limites para demonstrar que a função é contínua no intervalo dado.
Explique por que a função é descontínua no número dado. Esboce o gráfico da função.