Use os teoremas vistos na sala de aula para mostrar que cada função é contínua em seu domínio. Diga qual é o domínio.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos mostrar que ela é contínua no seu domínio. Também precisamos identificar qual é esse domínio. Para isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de continuidade e entender onde a função está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , precisamos garantir que o denominador nunca seja zero e que a expressão dentro da raiz quadrada seja positiva, porque não podemos tirar a raiz de um número negativo nem dividir por zero.
Passo 3
Vamos resolver ser real e diferente de zero:
porque a raiz quadrada de um número não positivo não está definida nos números reais.
para evitar divisão por zero.
Então, a condição é , que simplifica para .
Passo 4
Agora que sabemos que , esse é o nosso domínio: todos os números maiores que -1. Em notação matemática, o domínio é .
Passo 5
Vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não houver “quebras” ou “saltos” no seu gráfico nesse ponto. Para mostrar que é contínua em todo o seu domínio, podemos usar teoremas de funções contínuas.
Passo 6
Sabemos que funções como e são contínuas onde estão definidas. A função é uma composição dessas funções: primeiro somamos 1 a e depois aplicamos a raiz quadrada, e por fim, fazemos o inverso.
Passo 7
Segundo o teorema da continuidade da composição, se as funções envolvidas são contínuas e a composição está definida, então a função composta também é contínua. Como é uma função linear (que é contínua), é contínua onde está definida (), e é contínua onde não é zero, que já garantimos com .
Passo 8
Portanto, usando os teoremas de continuidade e a composição de funções contínuas, concluímos que é contínua em todo o seu domínio .
Resposta
A função é contínua para todo maior que -1. Ou seja, o domínio de é e a função é contínua em todo esse domínio.