Explique por que a função é descontínua no número dado . Esboce o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa explicar por que ela é descontínua no ponto . A matéria aqui é sobre continuidade de funções e funções definidas por partes. Para resolver isso, vamos analisar os limites da função à esquerda e à direita de 0 e comparar com o valor da função em 0.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função:
Aqui, a função tem três “pedaços”: um para , outro para e outro para .
Passo 3
Para verificar a continuidade em , precisamos checar três coisas:
O limite da função quando se aproxima de 0 pela esquerda ().
O limite da função quando se aproxima de 0 pela direita ().
O valor da função em , que é .
Se todos esses valores forem iguais, a função é contínua. Caso contrário, é descontínua.
Passo 4
Vamos calcular o limite pela esquerda ():
Aqui, usamos o fato de que é contínua, então podemos simplesmente substituir por 0.
Passo 5
Agora, o limite pela direita ():
Da mesma forma, é contínua, então substituímos por 0.
Passo 6
O valor da função em 0 é dado diretamente:
Isso está definido pela parte da função para .
Passo 7
Agora, vamos comparar os valores:
Limite pela esquerda: 1
Limite pela direita: 1
Valor em 0: 0
Como os limites laterais são iguais entre si (ambos 1) mas são diferentes do valor da função em 0 (que é 0), a função não é contínua em .
Resposta
A função é descontínua em porque os limites à esquerda e à direita são iguais a 1, mas o valor da função em 0 é 0. Ou seja, . No gráfico, isso aparece como um salto no ponto .