Explique por que a função é descontínua no número dado a. Esboce o gráfico da função.
f(x) = { cos(x) se x < 0, 0 se x = 0, 1 - x^2 se x > 0 } a = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa explicar por que ela é descontínua no ponto . A matéria aqui é sobre continuidade de funções e funções definidas por partes. Para resolver isso, vamos analisar os limites da função à esquerda e à direita de 0 e comparar com o valor da função em 0.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função:
Aqui, a função tem três “pedaços”: um para , outro para e outro para .

Passo 3

Para verificar a continuidade em , precisamos checar três coisas:
  1. O limite da função quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ).
  2. O limite da função quando se aproxima de 0 pela direita ( ).
  3. O valor da função em , que é .
Se todos esses valores forem iguais, a função é contínua. Caso contrário, é descontínua.

Passo 4

Vamos calcular o limite pela esquerda ( ):
Aqui, usamos o fato de que é contínua, então podemos simplesmente substituir por 0.

Passo 5

Agora, o limite pela direita ( ):
Da mesma forma, é contínua, então substituímos por 0.

Passo 6

O valor da função em 0 é dado diretamente:
Isso está definido pela parte da função para .

Passo 7

Agora, vamos comparar os valores:
  • Limite pela esquerda: 1
  • Limite pela direita: 1
  • Valor em 0: 0
Como os limites laterais são iguais entre si (ambos 1) mas são diferentes do valor da função em 0 (que é 0), a função não é contínua em .

Resposta

A função é descontínua em porque os limites à esquerda e à direita são iguais a 1, mas o valor da função em 0 é 0. Ou seja, . No gráfico, isso aparece como um salto no ponto .

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