lim x 0 xe^x-cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender como funções se comportam perto de um ponto, e possivelmente usar uma técnica chamada Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos por 0 na expressão. No numerador temos , que vira 0. No denominador, temos . Então, estamos com uma forma indeterminada . Quando isso acontece, uma boa estratégia é aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas: , desde que esse limite exista.

Passo 4

Vamos aplicar a derivada no numerador e no denominador:
  • Derivada do numerador limx to 0 1e^x + sin x é .
  • Derivada do denominador é .
Agora, reescrevemos o limite usando as derivadas:

Passo 5

Substituindo 1e^0 + sin 0 = 11 + 0 = 1 na nova expressão:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Explique por que a função é descontínua no número dado a. Esboce o gráfico da função.
f(x) = { cos(x) se x < 0, 0 se x = 0, 1 - x^2 se x > 0 } a = 0
Sejam f, g: R -> R funções diferenciáveis. Usando a tabela a seguir, calcule:
x f(x) f'(x) g(x) g'(x)
-3 2 4 6 11
0 1 2 -3 -7
1 16 -3 4 13
2 -3 2 0 raiz(2)
(g o f)'(2)
lim x +infty x^2(e^1 / x-1)
lim x 0 cosh x-11-cos x