lim x 0 xe^x-cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender como funções se comportam perto de um ponto, e possivelmente usar uma técnica chamada Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos por 0 na expressão. No numerador temos , que vira 0. No denominador, temos . Então, estamos com uma forma indeterminada . Quando isso acontece, uma boa estratégia é aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas: , desde que esse limite exista.

Passo 4

Vamos aplicar a derivada no numerador e no denominador:
  • Derivada do numerador limx to 0 1e^x + sin x é .
  • Derivada do denominador é .
Agora, reescrevemos o limite usando as derivadas:

Passo 5

Substituindo 1e^0 + sin 0 = 11 + 0 = 1 na nova expressão:

Resposta

O limite é igual a .

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