Verifique que o vetor posição r = <x, y, z> tem a propriedade enunciada: d nabla (1/||r||) = -r/||r||^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar uma propriedade envolvendo o vetor posição . A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente de uma função que depende da distância do ponto até a origem, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição tem uma magnitude (ou norma) dada por . A função que vamos derivar é .

Passo 3

O gradiente de uma função escalar f(x, y, z) é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
Então, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a x, y e z.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial em relação a x. Usamos a regra da cadeia:

Passo 5

De maneira similar, calculamos as derivadas parciais em relação a y e z:

Passo 6

Agora, juntando essas derivadas parciais, o gradiente fica:

Resposta

A propriedade está verificada: .

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