Verifique que o vetor posição
tem a propriedade enunciada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar uma propriedade envolvendo o vetor posição
. A matéria que estamos usando aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente de uma função que depende da distância do ponto até a origem, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição
tem uma magnitude (ou norma) dada por
. A função que vamos derivar é
.
Passo 3
O gradiente de uma função escalar
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
Então, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
. Usamos a regra da cadeia:
Passo 5
De maneira similar, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
:
Passo 6
Agora, juntando essas derivadas parciais, o gradiente fica:
Resposta
A propriedade está verificada:
.