Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos provar, usando a definição de limite, que:
Esse problema está ligado ao estudo de limites de sequências, uma parte importante do cálculo. Para isso, vamos precisar entender a definição formal de limite para sequências e como aplicar essa definição para simplificar e provar a igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para sequências. Dizemos que:
significa que, para todo número positivo pequeno , existe um número natural tal que, para todo , a diferença entre e é menor que :
Ou seja, podemos fazer ficar tão perto de quanto quisermos escolhendo suficientemente grande.
Passo 3
Aplicando essa definição ao nosso caso, queremos mostrar que:
Então, nossa sequência é:
E queremos provar que, para qualquer , existe um tal que, para todo :
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
|3 n^2+15 n^2-1 - 35|
Para subtrair as frações, vamos encontrar um denominador comum:
= |(3n^2+1) cdot 5 - 3 cdot (5n^2-1)5(5n^2-1)|
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos no numerador:
= |15n^2 + 5 - 15n^2 + 35(5n^2-1)|
Simplificando:
= |85(5n^2-1)|
Como tanto o numerador quanto o denominador são positivos para n grande, podemos remover o valor absoluto:
= 85(5n^2-1)
Passo 6
Queremos que essa expressão seja menor que epsilon:
85(5n^2-1) < epsilon
Vamos resolver para n:
5(5n^2-1) > 8epsilon
25n^2 - 5 > 8epsilon
25n^2 > 8epsilon + 5
n^2 > 8epsilon + 525
n > raiz 8epsilon + 525
Passo 7
Agora, podemos escolher N como qualquer número maior que raiz 8epsilon + 525 . Por exemplo:
N = raiz 825epsilon + 525 = raiz 825epsilon + 15
Isso garante que, para todo n >= N, a diferença |3 n^2+15 n^2-1 - 35| seja menor que epsilon.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, mostramos que: