Prove, usando a definição, que: lim n +infty 3 n^2+15 n^2-1=35

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos provar, usando a definição de limite, que:
lim n +infty 3 n^2+15 n^2-1 = 35
Esse problema está ligado ao estudo de limites de sequências, uma parte importante do cálculo. Para isso, vamos precisar entender a definição formal de limite para sequências e como aplicar essa definição para simplificar e provar a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para sequências. Dizemos que:
limn to infty an = L
significa que, para todo número positivo pequeno epsilon, existe um número natural N tal que, para todo n >= N, a diferença entre an e L é menor que epsilon:
|an - L| < epsilon
Ou seja, podemos fazer an ficar tão perto de L quanto quisermos escolhendo n suficientemente grande.

Passo 3

Aplicando essa definição ao nosso caso, queremos mostrar que:
lim n +infty 3 n^2+15 n^2-1 = 35
Então, nossa sequência an é:
an = 3 n^2+15 n^2-1
E queremos provar que, para qualquer epsilon > 0, existe um N tal que, para todo n >= N:
|3 n^2+15 n^2-1 - 35| < epsilon

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
|3 n^2+15 n^2-1 - 35|
Para subtrair as frações, vamos encontrar um denominador comum:
= |(3n^2+1) cdot 5 - 3 cdot (5n^2-1)5(5n^2-1)|

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos no numerador:
= |15n^2 + 5 - 15n^2 + 35(5n^2-1)|
Simplificando:
= |85(5n^2-1)|
Como tanto o numerador quanto o denominador são positivos para n grande, podemos remover o valor absoluto:
= 85(5n^2-1)

Passo 6

Queremos que essa expressão seja menor que epsilon:
85(5n^2-1) < epsilon
Vamos resolver para n:
5(5n^2-1) > 8epsilon
25n^2 - 5 > 8epsilon
25n^2 > 8epsilon + 5
n^2 > 8epsilon + 525
n > raiz 8epsilon + 525

Passo 7

Agora, podemos escolher N como qualquer número maior que raiz 8epsilon + 525 . Por exemplo:
N = raiz 825epsilon + 525 = raiz 825epsilon + 15
Isso garante que, para todo n >= N, a diferença |3 n^2+15 n^2-1 - 35| seja menor que epsilon.

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que:
lim n +infty 3 n^2+15 n^2-1 = 35

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