Prove, usando a definição, que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos provar, usando a definição de limite, que:
Esse problema está ligado ao estudo de limites de sequências, uma parte importante do cálculo. Para isso, vamos precisar entender a definição formal de limite para sequências e como aplicar essa definição para simplificar e provar a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para sequências. Dizemos que:
significa que, para todo número positivo pequeno , existe um número natural tal que, para todo , a diferença entre e é menor que :
Ou seja, podemos fazer ficar tão perto de quanto quisermos escolhendo suficientemente grande.

Passo 3

Aplicando essa definição ao nosso caso, queremos mostrar que:
Então, nossa sequência é:
E queremos provar que, para qualquer , existe um tal que, para todo :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Para subtrair as frações, vamos encontrar um denominador comum:

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos no numerador:
Simplificando:
Como tanto o numerador quanto o denominador são positivos para grande, podemos remover o valor absoluto:

Passo 6

Queremos que essa expressão seja menor que :
Vamos resolver para :

Passo 7

Agora, podemos escolher como qualquer número maior que . Por exemplo:
Isso garante que, para todo , a diferença seja menor que .

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que:

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Determine se a sequência dada é monótona ou não monótona. ;
Determine se a sequência dada é monótona ou não monótona. ;