Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos provar, usando a definição de limite, que:
Esse problema está ligado ao estudo de limites de sequências, uma parte importante do cálculo. Para isso, vamos precisar entender a definição formal de limite para sequências e como aplicar essa definição para simplificar e provar a igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite para sequências. Dizemos que:
significa que, para todo número positivo pequeno , existe um número natural tal que, para todo , a diferença entre e é menor que :
Ou seja, podemos fazer ficar tão perto de quanto quisermos escolhendo suficientemente grande.
Passo 3
Aplicando essa definição ao nosso caso, queremos mostrar que:
Então, nossa sequência é:
E queremos provar que, para qualquer , existe um tal que, para todo :
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Para subtrair as frações, vamos encontrar um denominador comum:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos no numerador:
Simplificando:
Como tanto o numerador quanto o denominador são positivos para grande, podemos remover o valor absoluto:
Passo 6
Queremos que essa expressão seja menor que :
Vamos resolver para :
Passo 7
Agora, podemos escolher como qualquer número maior que . Por exemplo:
Isso garante que, para todo , a diferença seja menor que .
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, mostramos que: