Seja
a superfície do cubo, determinada pelos seis planos
e orientada para fora. Determine o fluxo
para cada um dos campos abaixo.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cubo definido pelos planos
,
, e
, e precisa calcular o fluxo
do campo vetorial
através dessa superfície. Para isso, vamos usar o conceito de fluxo em cálculo vetorial, que basicamente mede quanto de um campo passa por uma superfície. Vamos precisar entender como calcular o fluxo usando integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o fluxo
de um campo vetorial
através de uma superfície
é dado pela integral de superfície:
Aqui,
é o vetor normal à superfície na direção para fora do cubo.
Passo 3
Nosso campo vetorial é
. Vamos analisar cada uma das seis faces do cubo separadamente e somar os fluxos de todas elas. Vamos identificar as direções normais e calcular
para cada face.
Passo 4
Face
:
- Vetor normal:
-
- Como
nessa face, - Área dessa face:
- Fluxo:
Passo 5
Face
:
- Vetor normal:
-
- Como
nessa face, - Área dessa face:
- Fluxo:
Passo 6
Faces onde
e
:
- Nessas faces, o vetor normal tem componentes em
ou - Nosso campo
não tem componente em ou - Portanto,
nessas faces - Fluxo total dessas faces:
Passo 7
Agora, somando os fluxos de todas as faces:
Resposta
O fluxo
do campo
através da superfície do cubo é
.
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. Prove que:
.
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e
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.
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a relação em
dada por
e seja
a relação em
dada por
Prove que
.