Seja a superfície do cubo, determinada pelos seis planos e orientada para fora. Determine o fluxo para cada um dos campos abaixo.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cubo definido pelos planos , , e , e precisa calcular o fluxo do campo vetorial através dessa superfície. Para isso, vamos usar o conceito de fluxo em cálculo vetorial, que basicamente mede quanto de um campo passa por uma superfície. Vamos precisar entender como calcular o fluxo usando integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado pela integral de superfície:
Aqui, é o vetor normal à superfície na direção para fora do cubo.

Passo 3

Nosso campo vetorial é . Vamos analisar cada uma das seis faces do cubo separadamente e somar os fluxos de todas elas. Vamos identificar as direções normais e calcular para cada face.

Passo 4

Face :
  • Vetor normal:
  • Como nessa face,
  • Área dessa face:
  • Fluxo:

Passo 5

Face :
  • Vetor normal:
  • Como nessa face,
  • Área dessa face:
  • Fluxo:

Passo 6

Faces onde e :
  • Nessas faces, o vetor normal tem componentes em ou
  • Nosso campo não tem componente em ou
  • Portanto, nessas faces
  • Fluxo total dessas faces:

Passo 7

Agora, somando os fluxos de todas as faces:

Resposta

O fluxo do campo através da superfície do cubo é .

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