Explique por que os limites abaixo não existem.
© lim x -2 x+3(x-1)(x+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente explicar por que o limite não existe. Vamos usar conceitos de limites, especialmente quando o denominador se aproxima de zero, e analisar o comportamento da função perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o denominador (x-1)(x+2) = (-2-1)(-2+2) = (-3)(0) = 0 quando se aproxima de . Substituindo , temos:
Então, o denominador está se aproximando de zero, o que pode causar problemas no limite.

Passo 3

Agora, vamos analisar o numerador x + 3 = -2 + 3 = 1 quando se aproxima de :
Então, o numerador está se aproximando de 1, que é um número finito.

Passo 4

Como o denominador está se aproximando de zero e o numerador está se aproximando de 1, precisamos ver de qual lado está se aproximando de , ou seja, pelo lado esquerdo ( ) e pelo lado direito ( ).

Passo 5

Vamos calcular o limite pelo lado esquerdo ( ):
  • Para ligeiramente menor que , é negativo pequeno.
  • será .
  • Então, .
Assim, .

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite pelo lado direito ( ):
  • Para ligeiramente maior que , é positivo pequeno.
  • ainda é .
  • Então, .
Assim, .

Passo 7

Como o limite pelo lado esquerdo é e pelo lado direito é , os dois não coincidem. Isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque, ao se aproximar de , a função tende a pelo lado esquerdo e a pelo lado direito, resultando em limites diferentes.

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