Explique por que o método de Gauss-Seidel não garante convergência para solução exata do sistema abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações assim:
O conteúdo que vamos usar aqui é o método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares. Vamos precisar entender como esse método funciona e quais são os critérios que garantem sua convergência, ou seja, que ele vai chegar numa solução exata.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método de Gauss-Seidel. Ele atualiza cada variável uma de cada vez, usando os valores mais recentes disponíveis. Por exemplo, para a primeira equação, a gente resolveria para em função de e , e assim por diante.
Passo 3
Agora, a questão da convergência. O método de Gauss-Seidel nem sempre garante que vai convergir para a solução exata. Para isso, existem alguns critérios que precisam ser atendidos. Um dos principais é que a matriz dos coeficientes precisa ser diagonalmente dominante ou simétrica e positiva definida.
Passo 4
Vamos verificar se a matriz do nosso sistema é diagonalmente dominante. Uma matriz é diagonalmente dominante se, em cada linha, o valor absoluto do coeficiente da diagonal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes dessa linha.
Nossa matriz é:
Para a primeira linha: → → Não é verdade.
Para a segunda linha: → → Não é verdade.
Para a terceira linha: → → Não é verdade.
Passo 5
Como nossa matriz não é diagonalmente dominante, o método de Gauss-Seidel não tem garantia de convergir para a solução exata. Sem essa propriedade, as iterações podem não se aproximar da solução ou até mesmo oscilar sem chegar perto dela.
Resposta
O método de Gauss-Seidel não garante a convergência para a solução exata do sistema dado porque a matriz dos coeficientes não é diagonalmente dominante, o que é uma condição necessária para a convergência do método.