Utilize o método de Jacobi e o método de Gauss-Seidel para esse mesmo sistema. O que você pode dizer sobre a convergência dos métodos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar o método de Jacobi e o método de Gauss-Seidel em um sistema linear, e depois comentar sobre como esses métodos convergem para a solução. Isso envolve entender dois métodos iterativos para resolver sistemas de equações lineares e analisar quando cada um deles funciona bem.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o método de Jacobi. Esse método resolve cada variável isoladamente, usando os valores das outras variáveis da iteração anterior. Basicamente, você reescreve cada equação do sistema de forma que a variável que está resolvendo fique isolada de um lado da equação.
Por exemplo, se tivermos um sistema como:
Reescrevemos cada equação para isolar :
Aqui, são os valores das variáveis na iteração anterior.

Passo 3

Agora, o método de Gauss-Seidel é parecido com o de Jacobi, mas com uma diferença chave: ele usa os valores já atualizados das variáveis durante a mesma iteração. Ou seja, quando você calcula , já utiliza os valores mais recentes de .
Matematicamente, fica assim:
Isso geralmente faz com que o método de Gauss-Seidel converja mais rápido que o de Jacobi.

Passo 4

Sobre a convergência desses métodos, ela depende de algumas condições do sistema linear. Uma condição comum que garante a convergência é a dominância diagonal, onde para cada equação, o coeficiente da variável é maior em módulo do que a soma dos demais coeficientes dessa equação. Ou seja:
Quando isso acontece, tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss-Seidel tendem a convergir para a solução correta.
Além disso, o método de Gauss-Seidel costuma ter uma taxa de convergência melhor que o de Jacobi, especialmente se o sistema não for fortemente dominante diagonalmente. Isso porque ele usa imediatamente os valores atualizados dentro da mesma iteração.

Resposta

Aplicando os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel ao sistema dado, ambos convergem para a solução quando o sistema possui dominância diagonal ou outras condições que garantem a convergência. O método de Gauss-Seidel geralmente converge mais rapidamente que o de Jacobi devido ao uso imediato dos valores atualizados durante as iterações.

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