Dos seguintes três conjuntos de equações lineares, identifique qual(is) conjunto(s) não pode(m) ser resolvido(s) usando um método ite-
rativo como o de Gauss-Seidel. Mostre, utilizando qualquer número de iterações, que necessariamente sua solução não converge. Enuncie claramente seu critério de convergência (como você sabe que a solução não está convergindo).
b.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve métodos iterativos para resolver sistemas lineares, especificamente o método de Gauss-Seidel. Precisamos verificar se esse sistema pode ou não ser resolvido usando esse método e, se não puder, mostrar que a solução não converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de Gauss-Seidel. É uma técnica iterativa usada para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Funciona melhor quando a matriz dos coeficientes do sistema é diagonalmente dominante, ou seja, o valor absoluto do elemento na diagonal de cada linha é maior que a soma dos valores absolutos dos demais elementos dessa linha.
Passo 3
Vamos verificar se a matriz dos coeficientes do sistema é diagonalmente dominante. A matriz dos coeficientes é:
Agora, vamos checar cada linha:
Primeira linha: |1| vs |1| + |6| → 1 vs 7 → Não é dominante.
Segunda linha: |5| vs |1| + |1| → 5 vs 2 → É dominante.
Terceira linha: |−2| vs |4| + |2| → 2 vs 6 → Não é dominante.
Como nem todas as linhas são diagonalmente dominantes, o método de Gauss-Seidel pode não convergir para esse sistema.
Passo 4
Vamos tentar realizar uma iteração do método de Gauss-Seidel para ver se a solução está convergindo. Primeiramente, reorganizamos as equações para isolar cada variável:
Vamos escolher um ponto inicial, por exemplo, , , .
Primeira iteração:
Segunda iteração:
Podemos ver que os valores estão oscilando e aumentando em magnitude, indicando que a solução não está se aproximando de um ponto específico.
Passo 5
O critério de convergência para o método de Gauss-Seidel geralmente depende da norma da diferença entre iterações consecutivas. Se essa diferença tende a zero, dizemos que está convergindo. No nosso caso, como os valores estão aumentando e oscilando sem se aproximar, podemos concluir que a solução não está convergindo.
Resposta
O conjunto de equações dado não pode ser resolvido pelo método iterativo de Gauss-Seidel, pois a solução não converge, conforme demonstrado pelas iterações que os resultados divergem em magnitude.