Use o método de Jacobi para resolver o seguinte sistema até que o erro relativo porcentual caia abaixo de ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Jacobi. Basicamente, esse método serve para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares iterando valores até que a gente alcance uma precisão desejada. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações para isolar cada variável e definir um critério de parada, que no nosso caso é quando o erro relativo porcentual ficar abaixo de .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação do sistema para expressar cada variável em termos das outras. Isso facilita a aplicação do método de Jacobi.
Dado o sistema:
Vamos isolar cada :
Para :
Para :
Para :

Passo 3

Vamos começar com valores iniciais para as variáveis. Uma escolha comum é começar com zero para todas. Assim:

Passo 4

Agora, aplicamos as fórmulas que rearranjamos usando os valores do passo anterior para encontrar os novos valores das variáveis.
Primeira Iteração ( )

Passo 5

Vamos calcular o erro relativo porcentual para cada variável:
Como todos os erros são maiores que 5%, precisamos continuar iterando.

Passo 6

Segunda Iteração ( )
Usando os valores da primeira iteração:
Calculando os erros relativos novamente:
Ainda temos erros acima de 5%, então vamos para a próxima iteração.

Passo 7

Terceira Iteração ( )
Usando os valores da segunda iteração:
Calculando os erros relativos:
Agora, já está dentro do critério, mas os outros ainda não. Vamos continuar.

Passo 8

Quarta Iteração ( )
Usando os valores da terceira iteração:
Calculando os erros relativos:
Agora, está exatamente no limite de 5%, e está abaixo. Vamos fazer mais uma iteração para garantir.

Passo 9

Quinta Iteração ( )
Usando os valores da quarta iteração:
Calculando os erros relativos:
Agora, todos os erros relativos estão abaixo de 5%, então podemos parar.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Jacobi, com erro relativo abaixo de , é:

Exercícios relacionados

Dos seguintes três conjuntos de equações lineares, identifique qual(is) conjunto(s) não pode(m) ser resolvido(s) usando um método ite-
rativo como o de Gauss-Seidel. Mostre, utilizando qualquer número de iterações, que necessariamente sua solução não converge. Enuncie claramente seu critério de convergência (como você sabe que a solução não está convergindo).
b.
Explique por que o método de Gauss-Seidel não garante convergência para solução exata do sistema abaixo.
Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com .
a.
Resolva através do método iterativo de Jacobi os sistemas abaixo com .
b.