Use o método de Jacobi para resolver o seguinte sistema até que o erro relativo porcentual caia abaixo de varepsilon=5 %,
l 10 x1+2 x2-x3=27 -3 x1-6 x2+2 x3=-61,5 x1+x2+5 x3=-21,5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Jacobi. Basicamente, esse método serve para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares iterando valores até que a gente alcance uma precisão desejada. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações para isolar cada variável e definir um critério de parada, que no nosso caso é quando o erro relativo porcentual ficar abaixo de .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação do sistema para expressar cada variável em termos das outras. Isso facilita a aplicação do método de Jacobi.
Dado o sistema:
l 10 x1 + 2 x2 - x3 = 27 -3 x1 -6 x2 + 2 x3 = -61,5 x1 + x2 +5 x3 = -21,5
Vamos isolar cada x1 = 27 - 2 x2 + x310 :
Para x2 = -61,5 + 3 x1 - 2 x3 -6 = 61,5 - 3 x1 + 2 x36 :
x3 = -21,5 - x1 - x25
Para :
Para :

Passo 3

Vamos começar com valores iniciais para as variáveis. Uma escolha comum é começar com zero para todas. Assim:
x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0

Passo 4

Agora, aplicamos as fórmulas que rearranjamos usando os valores do passo anterior para encontrar os novos valores das variáveis.
Primeira Iteração ( x1^(1) = 27 - 2(0) + 010 = 2710 = 2,7 )
x2^(1) = 61,5 - 3(0) + 2(0)6 = 61,56 = 10,25
x3^(1) = -21,5 - 0 - 05 = -21,55 = -4,3

Passo 5

Vamos calcular o erro relativo porcentual para cada variável:
Erro relativo de x1 = | 2,7 - 02,7 | times 100% approx 100%
Erro relativo de x2 = | 10,25 - 010,25 | times 100% approx 100%
Erro relativo de x3 = | -4,3 - 0-4,3 | times 100% approx 100%
Como todos os erros são maiores que 5%, precisamos continuar iterando.

Passo 6

Segunda Iteração ( x1^(2) = 27 - 2(10,25) + (-4,3)10 = 27 - 20,5 - 4,310 = 2,210 = 0,22 )
Usando os valores da primeira iteração:
x2^(2) = 61,5 - 3(2,7) + 2(-4,3)6 = 61,5 - 8,1 - 8,66 = 44,86 approx 7,47
x3^(2) = -21,5 - 2,7 - 10,255 = -34,455 = -6,89
Erro relativo de x1 = | 0,22 - 2,70,22 | times 100% approx 1136%
Calculando os erros relativos novamente:
Erro relativo de x2 = | 7,47 - 10,257,47 | times 100% approx 37,3%
Erro relativo de x3 = | -6,89 - (-4,3)-6,89 | times 100% approx 58,0%
Ainda temos erros acima de 5%, então vamos para a próxima iteração.

Passo 7

Terceira Iteração ( x1^(3) = 27 - 2(7,47) + (-6,89)10 = 27 - 14,94 - 6,8910 = 5,1710 = 0,517 )
Usando os valores da segunda iteração:
x2^(3) = 61,5 - 3(0,22) + 2(-6,89)6 = 61,5 - 0,66 - 13,786 = 46,066 approx 7,68
x3^(3) = -21,5 - 0,22 - 7,475 = -29,195 = -5,838
Erro relativo de x1 = | 0,517 - 0,220,517 | times 100% approx 57,6%
Calculando os erros relativos:
Erro relativo de x2 = | 7,68 - 7,477,68 | times 100% approx 2,9%
Erro relativo de x3 = | -5,838 - (-6,89)-5,838 | times 100% approx 18,3%
Agora, já está dentro do critério, mas os outros ainda não. Vamos continuar.

Passo 8

Quarta Iteração ( x1^(4) = 27 - 2(7,68) + (-5,838)10 = 27 - 15,36 - 5,83810 = 5,80210 = 0,5802 )
Usando os valores da terceira iteração:
x2^(4) = 61,5 - 3(0,517) + 2(-5,838)6 = 61,5 - 1,551 - 11,6766 = 48,2736 approx 8,0455
x3^(4) = -21,5 - 0,517 - 7,685 = -29,6975 = -5,9394
Erro relativo de x1 = | 0,5802 - 0,5170,5802 | times 100% approx 10,3%
Calculando os erros relativos:
Erro relativo de x2 = | 8,0455 - 7,688,0455 | times 100% approx 5,0%
Erro relativo de x3 = | -5,9394 - (-5,838)-5,9394 | times 100% approx 0,99%
Agora, está exatamente no limite de 5%, e está abaixo. Vamos fazer mais uma iteração para garantir.

Passo 9

Quinta Iteração ( x1^(5) = 27 - 2(8,0455) + (-5,9394)10 = 27 - 16,091 - 5,939410 = 5,969610 = 0,59696 )
Usando os valores da quarta iteração:
x2^(5) = 61,5 - 3(0,5802) + 2(-5,9394)6 = 61,5 - 1,7406 - 11,87886 = 47,88066 approx 7,9801
x3^(5) = -21,5 - 0,5802 - 8,04555 = -30,12575 = -6,0251
Erro relativo de x1 = | 0,59696 - 0,58020,59696 | times 100% approx 2,9%
Calculando os erros relativos:
Erro relativo de x2 = | 7,9801 - 8,04557,9801 | times 100% approx 0,83%
Erro relativo de x3 = | -6,0251 - (-5,9394)-6,0251 | times 100% approx 1,23%
Agora, todos os erros relativos estão abaixo de 5%, então podemos parar.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Jacobi, com erro relativo abaixo de x1 approx 0,597, x2 approx 7,980, x3 approx -6,025 , é:

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