Use o método de Jacobi para resolver o seguinte sistema até que o erro relativo porcentual caia abaixo de ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Jacobi. Basicamente, esse método serve para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares iterando valores até que a gente alcance uma precisão desejada. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações para isolar cada variável e definir um critério de parada, que no nosso caso é quando o erro relativo porcentual ficar abaixo de .
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar cada equação do sistema para expressar cada variável em termos das outras. Isso facilita a aplicação do método de Jacobi.
Dado o sistema:
Vamos isolar cada :
Para :
Para :
Para :
Passo 3
Vamos começar com valores iniciais para as variáveis. Uma escolha comum é começar com zero para todas. Assim:
Passo 4
Agora, aplicamos as fórmulas que rearranjamos usando os valores do passo anterior para encontrar os novos valores das variáveis.
Primeira Iteração ()
Passo 5
Vamos calcular o erro relativo porcentual para cada variável:
Como todos os erros são maiores que 5%, precisamos continuar iterando.
Passo 6
Segunda Iteração ()
Usando os valores da primeira iteração:
Calculando os erros relativos novamente:
Ainda temos erros acima de 5%, então vamos para a próxima iteração.
Passo 7
Terceira Iteração ()
Usando os valores da segunda iteração:
Calculando os erros relativos:
Agora, já está dentro do critério, mas os outros ainda não. Vamos continuar.
Passo 8
Quarta Iteração ()
Usando os valores da terceira iteração:
Calculando os erros relativos:
Agora, está exatamente no limite de 5%, e está abaixo. Vamos fazer mais uma iteração para garantir.
Passo 9
Quinta Iteração ()
Usando os valores da quarta iteração:
Calculando os erros relativos:
Agora, todos os erros relativos estão abaixo de 5%, então podemos parar.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Jacobi, com erro relativo abaixo de , é: