Explique por que não se pode usar a substituição para determinar o limite, calcule o limite algebricamente lim x 2 x^3-8x-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente entender por que não dá pra usar a substituição direta para encontrar o limite de x^3-8x-2 quando x se aproxima de 2. A matéria envolvida aqui é Cálculo, especificamente o estudo de limites. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão algébrica para simplificar e então calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar a substituição direta. Substituímos x por 2 na expressão:
2^3 - 82 - 2 = 8 - 80 = 00
Aqui vemos que acabamos com uma forma indeterminada 00. Isso significa que a substituição direta não funciona e precisamos usar outra técnica para encontrar o limite.

Passo 3

Agora, vamos manipular a expressão para simplificar. Observamos que x^3 - 8 é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada usando a fórmula:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
No nosso caso, a = x e b = 2, então:
x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)

Passo 4

Substituímos essa fatoração na expressão original:
x^3 - 8x - 2 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)x - 2
Agora, podemos cancelar o termo (x - 2) que está no numerador e no denominador:
(x - 2)(x^2 + 2x + 4)x - 2 = x^2 + 2x + 4

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora sim podemos substituir x por 2:
2^2 + 2 cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Resposta

O limite é 12.

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