Explique por que não se pode usar a substituição para determinar o limite, calcule o limite algebricamente lim x -3 x^2+7 x+12x^2-9

Passo 1

Vamos resolver o limite . Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e fatoração de expressões algébricas. Precisamos entender por que não podemos simplesmente substituir diretamente e, em seguida, calcular o limite de forma algebráica.

Passo 2

Primeiro, tentamos substituir (-3)^2 + 7(-3) + 12(-3)^2 - 9 = 9 - 21 + 129 - 9 = 00 diretamente na expressão:
Obtemos a forma indeterminada , o que significa que a substituição direta não funciona. Precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para identificar e cancelar termos comuns.
Numerador: x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
Procuramos dois números que multiplicados dão 12 e somados dão 7. Esses números são 3 e 4.
x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
Denominador:
Reconhecemos que é uma diferença de quadrados:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
(x + 3)(x + 4)(x + 3)(x - 3)
Podemos cancelar o fator comum x + 4x - 3 :

Passo 5

Com a expressão simplificada, podemos agora calcular o limite substituindo -3 + 4-3 - 3 = 1-6 = -16 :

Resposta

O limite é .

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