Explique o por que não é possivel aplicar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
sobre a superficie esférica
de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para explicar por que não dá para usar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial
sobre uma superfície esférica
que tem a equação
. A matéria envolve o Teorema de Gauss, que conecta o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume delimitado pela superfície. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, o Teorema de Gauss e as condições necessárias para aplicá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
mede quanto do campo está “passando” por essa superfície. Matematicamente, é representado por:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, nos diz que o fluxo de
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
contido por
:
Esse teorema é super útil porque muitas vezes é mais fácil calcular a integral de volume do que a integral de superfície.
Passo 4
Mas nem sempre dá para usar o Teorema de Gauss. As condições para aplicá-lo são:
- Campo Vetorial
deve ser : Ou seja, as componentes de devem ter derivadas parciais contínuas no volume . - Superfície
deve ser fechada e orientável: A superfície tem que fechar o volume sem buracos e ter uma orientação bem definida.
Se alguma dessas condições não for atendida, o Teorema de Gauss não pode ser aplicado diretamente.
Passo 5
No problema, ele diz para uma superfície esférica
que é fechada e regida pela equação
. A questão é que, para certos campos
, pode haver pontos onde
não está bem definida dentro do volume. Por exemplo, se
tiver uma singularidade (como uma carga pontual no centro da esfera), então a divergência
pode não existir ou não ser contínua naquele ponto.
Resposta
Então, não dá para aplicar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
sobre a superfície esférica
porque o campo
não atende às condições necessárias, provavelmente por ter uma singularidade ou não estar bem definido em todo o volume delimitado por
, fazendo com que a divergência
não seja contínua no interior da superfície.
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e
.
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(e) . Sugestão: multiplique a equação por
.
(e)
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e
.
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