Explique o por que não é possivel aplicar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de sobre a superficie esférica de equação .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para explicar por que não dá para usar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial sobre uma superfície esférica que tem a equação . A matéria envolve o Teorema de Gauss, que conecta o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume delimitado pela superfície. Para resolver, vamos precisar entender o que é fluxo, o Teorema de Gauss e as condições necessárias para aplicá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo está “passando” por essa superfície. Matematicamente, é representado por:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, o Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, nos diz que o fluxo de através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume contido por :
Esse teorema é super útil porque muitas vezes é mais fácil calcular a integral de volume do que a integral de superfície.

Passo 4

Mas nem sempre dá para usar o Teorema de Gauss. As condições para aplicá-lo são:
  1. Campo Vetorial deve ser : Ou seja, as componentes de devem ter derivadas parciais contínuas no volume .
  2. Superfície deve ser fechada e orientável: A superfície tem que fechar o volume sem buracos e ter uma orientação bem definida.
Se alguma dessas condições não for atendida, o Teorema de Gauss não pode ser aplicado diretamente.

Passo 5

No problema, ele diz para uma superfície esférica que é fechada e regida pela equação . A questão é que, para certos campos , pode haver pontos onde não está bem definida dentro do volume. Por exemplo, se tiver uma singularidade (como uma carga pontual no centro da esfera), então a divergência pode não existir ou não ser contínua naquele ponto.

Resposta

Então, não dá para aplicar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de sobre a superfície esférica porque o campo não atende às condições necessárias, provavelmente por ter uma singularidade ou não estar bem definido em todo o volume delimitado por , fazendo com que a divergência não seja contínua no interior da superfície.

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