Use a Regra da Cadeia para determinar e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A gente tem as funções:
Então, precisamos entender como mudar e afetam através das funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a calcular derivadas de funções compostas. No nosso caso, depende de e , que por sua vez dependem de e .
A fórmula geral da Regra da Cadeia para é:
E para :
Vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular e .
Temos:
A derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular , , e .
Dadas as funções:
Calculando as derivadas:

Passo 5

Agora, vamos usar a Regra da Cadeia para encontrar :
Substituindo as derivadas que calculamos:
Fatorando :

Passo 6

Agora, vamos calcular usando a Regra da Cadeia:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Fatorando :

Resposta

As derivadas parciais são:

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Resolva as equações:
(e) . Sugestão: multiplique a equação por .
Use a Regra da Cadeia para determinar e .
Explique o por que não é possivel aplicar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de sobre a superficie esférica de equação .
Use a Regra da Cadeia para determinar e .