Use a Regra da Cadeia para determinar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=2^x-3 y, x=s^2 t, y=s t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de z = 2^x - 3y, x = s^2 t, y = s t^2 em relação a e . A gente tem as funções:
Então, precisamos entender como mudar e afetam através das funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a calcular derivadas de funções compostas. No nosso caso, partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s depende de partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t e , que por sua vez dependem de e .
A fórmula geral da Regra da Cadeia para é:
E para :
Vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular z = 2^x - 3y e partial zpartial x = 2^x - 3y ln 2 .
Temos:
partial zpartial y = 2^x - 3y cdot (-3) ln 2 = -3 cdot 2^x - 3y ln 2
A derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular x = s^2 t e y = s t^2 , partial xpartial s = 2s t , partial xpartial t = s^2 e partial ypartial s = t^2 .
Dadas as funções:
partial ypartial t = 2s t
Calculando as derivadas:

Passo 5

Agora, vamos usar a Regra da Cadeia para encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s :
partial zpartial s = (2^x - 3y ln 2) cdot (2s t) + (-3 cdot 2^x - 3y ln 2) cdot (t^2)
Substituindo as derivadas que calculamos:
partial zpartial s = 2^x - 3y ln 2 (2s t - 3 t^2)
Fatorando :

Passo 6

Agora, vamos calcular partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t usando a Regra da Cadeia:
partial zpartial t = (2^x - 3y ln 2) cdot (s^2) + (-3 cdot 2^x - 3y ln 2) cdot (2s t)
Substituindo as derivadas que encontramos:
partial zpartial t = 2^x - 3y ln 2 (s^2 - 6s t)
Fatorando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 2^x - 3y ln 2 (2s t - 3 t^2)
partial zpartial t = 2^x - 3y ln 2 (s^2 - 6s t)

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