Use a Regra da Cadeia para determinar
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A gente tem as funções:
Então, precisamos entender como mudar
e
afetam
através das funções
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a calcular derivadas de funções compostas. No nosso caso,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
.
A fórmula geral da Regra da Cadeia para
é:
E para
:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
e
.
Temos:
A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
,
,
e
.
Dadas as funções:
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, vamos usar a Regra da Cadeia para encontrar
:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Fatorando
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
usando a Regra da Cadeia:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Fatorando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Resolva as equações:
(e) . Sugestão: multiplique a equação por
.
(e)
Use a Regra da Cadeia para determinar
e
.
Explique o por que não é possivel aplicar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
sobre a superficie esférica
de equação
.
Use a Regra da Cadeia para determinar
e
.